1043. 分隔数组以得到最大和
难度：中等
时间：2023/04/19
给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度 最多 为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。
返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。本题所用到的测试用例会确保答案是一个 32 位整数。
示例 1：
输入：arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出：84
解释：数组变为 [15,15,15,9,10,10,10]
示例 2：
输入：arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出：83
示例 3：
输入：arr = [1], k = 1
输出：1
提示：
1 <= arr.length <= 5000 <= arr[i] <= 10^91 <= k <= arr.length
解题思路：
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题意 给定数组A，将数组分割成若干个子数组，每个子数组的长度不超过K，并且子数组中的每个数字都变为其中的最大值。问整个数组的最大值之和是多少？
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思路 分割的位置会影响之后的可分割的位置，这是一个动态规划问题。
设dp[i]表示前i个元素能达到的最大和。考虑到长度最大为K，那么dp[i]可以由dp[i-K] ~ dp[i-1]推导而来，即状态转移为：
dp[i] = max( dp[j] + max(A[j:i]) * (i - j) )，其中i - K <= j <= i - 1
PS.一开始我想着把区间最大值预处理出来，但时间复杂度是O(N^2)。后来发现这一步是没有必要的，因为通过将对j的遍历方向变为逆序，那么最大值可以同时求出来，时间复杂度是O(NK)，很明显后者更好。
class Solution {
public:
int maxSumAfterPartitioning(vector<int>& A, int K) {
const int n = A.size();
// dp[i] : 以nums[i]为切割的结尾，目前切割所能得到的最大值为dp[i]
vector<int> dp(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int maxN = -1;
for (int j = i - 1; j >= max(i - K, 0); --j) {
maxN = max(maxN, A[j]);
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + maxN * (i - j));
}
}
return dp[n];
}
};
