day101 69. x 的平方根(Java)

题目来源: 69. x 的平方根

题目描述：

• 描述: 给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。 由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。 注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

• 示例:

示例1:
输入：x = 4
输出：2

示例2:
输入：x = 8
输出：2

• 解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

思路

思路1

• 由于x 平方根的整数部分ans 是满足$k^2 ≤x$的最大k 值，因此我们可以对k 进行二分查找，从而得到答案。二分查找的下界为 0，上界可以粗略地设定为 x。在二分查找的每一步中，我们只需要比较中间元素mid 的平方与x 的大小关系，并通过比较的结果调整上下界的范围。由于我们所有的运算都是整数运算，不会存在误差，因此在得到最终的答案ans 后，也就不需要再去尝试ans+1 了。

具体实现1

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long) mid * mid <= x) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析1:

• 时间复杂度：O(logx)，即为二分查找需要的次数。

• 空间复杂度：O(1)。

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思路2

• 「袖珍计算器算法」是一种用指数函数 exp 和对数函数 ln 代替平方根函数的方法。我们通过有限的可以使用的数学函数，得到我们想要计算的结果。

我们将根号x写成幂的形式$x^{1/2}$，再使用自然对数 e 进行换底，即可得到根号x的值了。

具体实现2

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        int ans = (int) Math.exp(0.5 * Math.log(x));
        return (long) (ans + 1) * (ans + 1) <= x ? ans + 1 : ans;
    }
}

复杂度分析2:

• 时间复杂度：O(1)，由于内置的 exp 函数与 log 函数一般都很快，我们在这里将其复杂度视为O(1)。

• 空间复杂度：O(1)。