Unity三维坐标系中向量的简单计算与向量旋转

暴走的萝莉大叔
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1、前言

前段时间接到一个开发任务，在unity中做一个仿真模拟的功能，因为不是简单的直线标准工件，一般来说简单的直线工件利用三角函数就能解决相关的计算，从而实现仿真模拟。本次模拟涉及到圆、圆弧以及直线，需要求解直线与圆相交的直线与直线相交，以及求解线段在圆内的折射、反射，思来想去就使用了向量计算，分享下开发过程中使用到的关于向量的计算。

2、向量的基本运算与运用

向量的基本运算及运用不过多介绍，网上文章较多，可参考向量运算与应用，本次主要分享在unity中向量的加减、向量点乘及向量旋转。

3、unity中向量的运用

3.1向量的加减与坐标点计算

在unity三维坐标系中一个坐标用类Vector3表示，在二维坐标系中用类Vector2表示，若已知点A坐标为（x1,y1,z1）,B点坐标为（x2,y2,z2），向量AB=B-A（箭头由A指向B），向量在unity中也是用Vector3来表示，向量不能简单理解为一个坐标点，这点要注意。

//点A
var A = new Vector3(x1, y1, z1);
//点B
var B= new Vector3(x2, y2, z2);
//向量AB
var AB = B - A;

已知向量AB，如果这个时候有一个点C距离点A或点B的距离是已知的（点C在向量AB的方向上），怎么求这个坐标点的坐标呢？很简单，先求向量AB的单位向量，C点坐标就等于点A或点B坐标加上方向向量乘以对应的距离。需要判断的是C在AB向量的正方形还是反方向，这个结合实际情况判断，为正就A点加上单位向量乘以距离，反之则减去。

//假设点A距离点C距离为10
var distance = 10;
//点C的坐标，若在向量AB的正方向上则
var C = A + AB.normalized * distance;
//若在向量AB的负方向上则
C = A - AB.normalized * distance;

3.2坐标点之间距离的计算

unity中两个坐标点之间距离的计算利用Vector3的函数Distance即可得到，非常简单，例如求A点、C点之前的距离：

//点A到点C的距离
var distanceAToC = Vector3.Distance(A, C);

3.3向量的点乘

向量的点乘在unity中用类Vector3的静态函数Dot（d1,d2）表示,即向量d1与d2进行点乘计算,数学意义就是向量d1与向量d2围成的平行四边形的面积。

image.png

接着上面的代码，存在点D，向量AB与向量CD的夹角为r，通过向量点乘公式可以求的夹角的弧度值。

//点D
var D = new Vector3(x3, y3, z3);
//向量CD
var CD = D - C;
//向量AB与向量CD的夹角的余弦值
var cos = Vector3.Dot(AB, CD) / (AB.magnitude * CD.magnitude);
 //夹角的弧度值
var radians = Mathf.Acos(cos);
//夹角的角度值
float degrees = Mathf.Rad2Deg * radians;

由单位向量的定义，可以先求每个向量的单位向量，再求夹角，上述代码也可描述为：

var D = new Vector3(x3, y3, z3);
var CD = D - C;
var cos = Vector3.Dot(AB.normalized, CD.normalized) / (AB.normalized.magnitude * CD.normalized.magnitude);
//夹角的弧度值
var radians = Mathf.Acos(cos);
//夹角的角度值
float degrees = Mathf.Rad2Deg * radians;
var incidentPoint = new Vector3(x, refPoint.y, z);

利用向量的加减、距离计算，加上向量的点乘这些知识点，再运用二分法，可以轻松求解直线与圆的交点，直线与直线的交点等数学问题。下面放一段利用二分法求直线与圆相交点的代码，仅供参考：

//直线的点
tempIncident = new Vector3(x, centerElem.y, z);

 //求直线在圆表面的交点
 xLeft = tempIncident.x;
 xRight = 0;
 x = (xLeft + xRight) / 2;
 //由圆的方程知x得z
 z = Mathf.Sqrt((radius * radius) - Mathf.Pow(x + (wedgeLength / 2), 2)) - radius;
 //由直线方程式（x-x1）/(X2-x1)=(z-z1)/(z2-z1)可得
 difference = (x - tempIncident.x) / (centerElem.x - tempIncident.x) 
              - (z - tempIncident.z) / (centerElem.z - tempIncident.z);
 --------利用二分法求解交点----------
 count = 0;
 //当误差小于0.00001或迭代计算次数超过20次即退出循环
 while (Mathf.Abs(difference) > 0.00001 && count < 20)
 {
     if (difference > 0)
     {
         xLeft = x;
     }
     else
     {
         xRight = x;

     x = (xLeft + xRight) / 2;
     // 计算新的中点坐标和函数值
     z = Mathf.Sqrt((radius * radius) - Mathf.Pow(x + (wedgeLength / 2), 2)) - radius;
                difference = (x - tempIncident.x) / (centerElem.x - tempIncident.x) 
                             - (z - tempIncident.z) / (centerElem.z - tempIncident.z);
count++;
 }
 //交点坐标
 incidentPoint = new Vector3(x, centerE

3.4向量的旋转

什么情况下能用到向量的转转呢？就是已知一条向量在物体上反射之后，求反射后的向量，会用到向量的旋转，已知条件就是向量、反射点的法向量与向量的夹角。还是以上面的简单例子为例子进行说明，已知向量AB和旋转角R,求向量AB以A点为旋转点，顺时针旋转R后的向量A'B'。

//反射角（弧度值）
var refractAngle = R;

//我这里假设所有向量都在X-Z平面，旋转轴就是Y轴，旋转轴的单位向量为 Vector3.up
var rotationAxis = Vector3.up;

//利用unity中Quaternion的AngleAxis来实现旋转，方法里面角度需转换为角度值，得到一个四元数
var rotationQuaternion = Quaternion.AngleAxis(-2 * refractAngle2 * 180 / Mathf.PI, rotationAxis);

//求解旋转后的向量
var A'B' = rotationQuaternion * AB;

4、总结

1、利用二分法求解直线与直线相交点、直线与圆弧的相交点非常方便，但是过程中要注意二分法的取值范围及指针移动的条件判断正确，否则就无法得到正确的交点。

2、已知夹角，利用向量的点乘加上二分法可以方便求解直线与圆的交点，同样需要注意的是圆的方程对于一个任何的x，y，z值都有对应的两个交点，需要根据条件判断你所求的点。

3、向量的旋转对于求解圆的折射和反射时非常方便，需要注意向量的正负与旋转角度的正负值，顺时针为负，逆时针选择则取正值。

4、unity三维坐标系中，常用的坐标计算相关的类就是vector3以及四元数Quaternion，掌握这两个及相关的类的使用比较重要。

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