一、二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等

将上图存储在一维数组中，如下图所示：

数组的下标代表结点的位置，比如E结点的数组下标是5，即代表它的位置是5。

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如果将如下的非完全二叉树存在数组中，该如何表示呢？

上图是一棵非完全二叉树，其中该二叉树只存在ABCEGJ（即蓝色部分）结点，

为了方便在数组中存储，需要将其补成完全二叉树，用^表示不存在的结点，如下图所示：

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再考虑一种极端情况，如果是一棵深度为k的右斜树，只有k个结点，但是要分配2 ^ k - 1个存储单元空间，明显造成空间的浪费，如下图所示：

因此我们可以推出顺序存储结构只适合于完全二叉树

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二、二叉链表

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域

其中data是数据域，lchild是存放左孩子的指针域，rchild是存放右孩子的指针域

//二叉树的二叉链表结点结构定义
typedef struct BiTNode {
    TElemType data;//结点数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;

三、遍历二叉树

1、二叉树的遍历原理

二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

2、二叉树的遍历方法

2.1 前序遍历（根左右）

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则闲访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树

下图的遍历顺序是 ABDGHCEIF

2.2 中序遍历（左根右）

规则是若二叉树为空，则不操作，直接返回；否则，从根结点开始（注意不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，再访问根结点，最后中序遍历右子树

下图的遍历顺序是：GDHBAEICF

2.3 后序遍历（左右根）

规则是若树为空，若二叉树为空，则不操作，直接返回；

否则，从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点，

下图是遍历顺序是 GHDBIEFCA

2.4 层序遍历

若二叉树为空，则不操作，直接返回；否则，从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问

下图的遍历顺序是 ABCDEFGHI

3、前序遍历算法

二叉树的定义是用递归的方式，所以遍历算法也可以采用递归来遍历一棵二叉树

//二叉树的前序遍历递归算法
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{ 
	if(T==NULL)
            return;
	printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
	PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
	PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}

4、中序遍历算法

其实前序遍历算法和中序遍历算法很像，只是部分代码的顺序不同而已！

中序遍历算法的代码如下：

//二叉树的中序遍历递归算法
void InOrderTraverse(BiTree T)
{ 
	if(T==NULL)
            return;
	InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
	printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
	InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

5、后序遍历算法

//二叉树的中序遍历递归算法
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T==NULL)
            return;
	PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
	PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
	printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}

6、推导遍历结果

已知一颗二叉树的前序遍历序列为ABCDEF，中序遍历序列为CBAEDF，请问这颗二叉树的后序遍历结果是多少？

三种遍历都是从根结点开始的，前序遍历是先打印再递归左和右。所以前序遍历序列为ABCDEF，第一个字母是A被打印出来，就说明A是根结点的数据。再由中序遍历序列是CBAEDF，可以知道C和B是A的左子树的结点，E、D、F是A的右子树的结点

然后我们看前序中的C和B，它的顺序是ABCDEF，是先打印B后打印C，所以B应该是A的左孩子，而C就只能是B的孩子，此时是左还是右孩子还不确定。

再看前序中的E、D、F，它的顺序是ABCDEF，那就意味着D是A结点的右孩子，E和F是D的子孙，注意，它们中有一个不一定是孩子，还有可能是孙子的。 再来看中序序列是CBAEDF，由于E在D的左侧，而F在右侧，所以可以确定E是D的左孩子，F是D的右孩子

已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一颗二叉树 已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一颗二叉树 但已知前序和后序，不能确定一颗二叉树， 比如前序是ABC，后序是CBA，可以确定A是根结点，但是无法知道哪个结点是左子树，哪个结点是右子树

7、二叉树的建立

如果我们要建立下面一棵二叉树，为了方便，我们对它进行了扩展。

变成下下图的样子，也就是将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值，比如“#”。 我们把这种处理后的二叉树为原二叉树的扩展二叉树。此时下下图的前序遍历结果为AB#D##C##

这时，我们来看看如何生成一棵二叉树。假设二叉树的结点均为一个字符，我们把刚才前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入。

/* 按前序输入二叉树中结点的值（一个字符） */
/* #表示空树，构造二叉链表表示二叉树T。 */
void CreateBiTree(BiTree *T)
{ 
	TElemType ch;
	
	/* scanf("%c",&ch); */
	ch=str[index++];
 
	if(ch=='#') 
		*T=NULL;
	else
	{
		*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		if(!*T)
			exit(OVERFLOW);
		(*T)->data=ch; /* 生成根结点 */
		CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
		CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
	}
}

在建立二叉树的时候，也是用了递归的原理，只不过在原来应该打印节点的地方改成了生成结点、给结点赋值的操作而已。

（当然，也可以用中序或者后序遍历的方式实现二叉树的建立，只不过代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交换一下）