树的中心（树形DP）树的中心（树形DP） 2023年4月16日落红不是无情物，化作春泥更护花。

给定一棵树，树中包含 $n$ 个结点（编号 $1\sim n$ ）和 $n−1$ 条无向边，每条边都有一个权值。

请你在树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 。

接下来 $n−1$ 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$ ，表示点 $a_i$ 和 $b_i$ 之间存在一条权值为 $c_i$ 的边。

输出格式

输出一个整数，表示所求点到树中其他结点的最远距离。

数据范围

$1≤n≤10000$ ,
$1≤a_i,b_i≤n$ ,
$1≤ci≤10_5$

输入样例：

输出样例：

题目分析

相较于上一题树的直径，本题树的中心是在此基础上衍生的拓展树形DP问题。

先同样将题目的图构造为一棵树，对于每个节点而言，我们可以将其的相邻节点分为向上的节点和向下的节点两类，这个节点的到其他节点的最远距离为这两个方向的最大值，最终答案需要枚举所有节点求得答案。

我们依然先由上题的解题思想出发，首先向下求得两条第一第二长的路径，相对于上一题，我们需要多开一个数组变量记录向下最长路径所通过的相邻节点。如同上题解法，我们可以同样的求出每个节点向下的最长路径。

对于向上的最长路径，我们同样选定一点为树根，同时开一个 up 数组记录向上的最长路径，初始化为 $0$ 。

对于当前节点的每个子节点，若子节点位于向下的最长路径上，则其最长向上路径为 $max(up[fa]+d2[fa])+w[fa->now]$ ，若位于向下的其他路径，则其最长向上路径为 $max(up[fa]+d1[fa])+w[fa->now]$ 。

最终复杂度为 $O(n)$ 。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10010, M = N * 2;

int n;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int d1[N], d2[N], up[N];
int son[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

int dfs_d(int u, int fa)
{
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == fa) continue;
        int d = dfs_d(j, u) + w[i];
        if (d > d1[u])
        {
            d2[u] = d1[u], d1[u] = d;
            son[u] = j;
        }
        else if (d > d2[u]) d2[u] = d;
    }
    return d1[u];
}

void dfs_u(int u, int fa)
{
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == fa) continue;
        if (j == son[u]) up[j] = max(up[u], d2[u]) + w[i];
        else up[j] = max(up[u], d1[u]) + w[i];
        
        dfs_u(j, u);
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    dfs_d(1, -1);
    dfs_u(1, -1);
    
    int res = 1e9;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) res = min(res, max(up[i], d1[i]));
    cout << res;
    return 0;
}