一、树的定义

树是n（n>=0）个结点的有限集。
n=0时称为空树。

在任意一颗非空树中：
1、有且仅有一个特定的称为根（root）的结点
2、当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、......、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree），如下图所示

树的定义其实就是我们在讲解栈时提到的递归的方法

对于树的定义还需要强调两点（1）n>0时，根结点是唯一的，不可能存在多个根结点（2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的

1、结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干个指向其子树的分支

度

结点拥有的子树数称为结点的度

叶结点

度为0的结点称为叶结点或终端结点

分支结点

度不为0的结点称为非终端结点或分支结点

在这里插入图片描述 树的度：

树内各结点的度的最大值

2、结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（child）该结点称为孩子的双亲同一个双亲的孩子之间互称兄弟结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点

3、树的其他相关概念

结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层
若某结点在第一层，则其子树的根就在第i+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟
树中结点的最大层次称为树的深度或高度，当前树的深度为4

如果将树种结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能更换的，则称该树为有序树，否则称为无序树

森林是m（m>=0）课互不相交的树的集合 对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林

在这里插入图片描述

二、树的抽象数据类型

ADT    树（Tree）

Data

    树是由一个根结点和若干棵子树构成。树中结点具有相同的数据类型及层次关系。

Operation

    InitTree(*T): 构造空树T。

    DestroyTree(*T): 销毁树T。

    CreateTree(*T, definition): 按definition中给出树的定义来构造树。

    ClearTree(*T): 若树T存在，则将树T清为空树。

    TreeEmpty(T): 若T为空树，返回true，否则返回false。

    TreeDepth(T): 返回T的深度。

    Root(T): 返回T的根结点。

    Value(T, cur_e): cur_e是树T中一个结点，返回此结点的值。

    Assign(T, cur_e, value): 给树T的结点cur_e赋值给value。

    Parent(T, cur_e): 若cur_e是树T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回空。

    LeftChild(T, cur_e): 若cur_e是树T的非叶结点，则返回它的最左孩子，否则返回空。

    RightSibling(T, cur_e): 若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回空。

    InsertChild(*T, *p, i, c): 其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度加上1，非空树c与T不相交，操作结果为插入c为树T中p所指结点的第i棵子树。

    DeleteChild(*T, *p, i): 其中p指向树T的某个结点，i为所指结点p的度，操作结果为删除T中p所指结点的第i棵子树。

endADT

三、树的存储结构

1、双亲表示法

除了根结点外，其余每个结点不一定有孩子，但一定有且仅有一个双亲用一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置

结点结构如下：

(其中data是数据域，存储结点的数据信息；parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标）

(由于根结点没有双亲，我们可以将根结点的位置域设置为-1）在这里插入图片描述

//树的双亲表示法结点结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;//树结点的数据类型，目前暂定为整型
typedef struct PTNode{//结点结构
    TElemType data;//结点数据
    int parent;//双亲位置
}PTNode;
typedef struct{//树结构
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];//结点数组
    int r, n;//跟的位置和结点数
}PTree;

在这里插入图片描述

这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为0（1），直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。

改进

如果需要访问结点的孩子，则需要遍历整个结构，不如增加一个最左边孩子的域，即长子域（如果结点没有孩子，则将其长子域设置为-1）

在这里插入图片描述

四、二叉树的定义

二叉树是n（n>=）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

4.1、二叉树的特点

每个结点最多有两棵子树，所以二叉树不存在度大于2的结点
左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

如果一棵二叉树由三个结点组成的话，那么这棵二叉树有几种形态呢？

在这里插入图片描述

4.2、特殊二叉树

1、斜树

在这里插入图片描述

所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树；所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树
左斜树跟右斜树统称为斜树。
它的特点就是每一层只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同，类似线性表（线性表可以理解为树的一种极其特殊的表现形式）

2、满二叉树

在这里插入图片描述

如果二叉树每个分支结点都存在左右子树（叶子除外），叶子都在同一层，这种二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点

叶子只能出现在最下一层，出现在其他层就不可能达成平衡
非叶子结点的度一定是2
在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多

3、完成二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1 ≤ i ≤ n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

完全二叉树呢，其实是建立在满二叉树的基础上的，具体而言就是在满二叉树右下角的地方开始往左边依次砍n个结点后形成的即为完全二叉树！

在满二叉树右下角往左边依次砍掉1个结点后，就变成了完全二叉树

在这里插入图片描述

在满二叉树右下角往左边依次砍掉2个结点后，就变成了完全二叉树

在这里插入图片描述

当砍掉0个结点后，也是一棵完全二叉树，只是这时也是一棵满二叉树

在这里插入图片描述

记住几个关键点：满二叉树、右下角开始、依次往左

完全二叉树的特点

叶子结点只能出现在最下两层

最下层的叶子一定集中在左部连续位置

倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右树的情况

同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

4.3、二叉树的性质

在二叉树的第i层上至多有2 ^ （i - 1）个结点（i ≥ 1）

深度为k的二叉树至多有2 ^ k - 1个结点（k ≥ 1）

对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1

具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋ + 1（⌊x⌋表示不大于x的最大整数）

如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为⌊log2n⌋ + 1）的结点按层序编号（从第1层到第⌊log2n⌋ + 1层，每层从左到右），对任一结点i（1 ≤ i ≤ n）有：

如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i ＞ 1，则其双亲是结点⌊i / 2⌋

如果2i ＞ n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i

如果2i + 1 ＞ n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i + 1

在这里插入图片描述

如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i ＞ 1，则其双亲是结点⌊i / 2⌋

对于性质5的第一条来说，这是很显然的，因为i = 1时就是根结点。 i > 1时，比如结点5，那么它的双亲就是⌊i / 2⌋，也就是⌊5 / 2⌋ = 2，结点9，它的双亲就是⌊i / 2⌋，也就是⌊9 / 2⌋ = 4

如果2i ＞ n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i

对于性质5的第二条来说，比如结点7，因为2 × 7 = 14超过结点总数10，所以结点7没有左孩子同理，对于结点5，因为2 × 5 = 10等于结点总数10，所以它的左孩子是结点2i，也就是2 × 5 = 10结点

如果2i + 1 ＞ n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i + 1

对于性质5的第三条，比如结点5，因为2 × 5 + 1 = 11，大于结点总数10，所以它没有右孩子同理，结点3，因为2 × 3 + 1 = 7，小于结点总数10，所以它的右孩子是结点7

大话数据结构之树(上）

一、树的定义

1、结点分类

2、结点间关系

3、树的其他相关概念

二、树的抽象数据类型

三、树的存储结构

1、双亲表示法

四、二叉树的定义

4.1、二叉树的特点

4.2、特殊二叉树

1、斜树

2、满二叉树

3、完成二叉树

4.3、二叉树的性质