二分细节全总结——二分法绝对是一个让人眼高手低的玩意，摸鱼了3天才玩明白

keybird
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二分法

前言，最近在研究Vue源码，diff算法部分有个计算最长递增子序列的函数叫getSequence，它就在vue库的packages/runtime-core/src/renderer.ts最下面，是diff算法实现乱序重排的一个核心算法，里面就用到了下面例二所描述的二分场景，我不是一个不求甚解的人，对于算法这玩意更是强迫症，每一个细节我都不允许我迷迷糊糊不知所以然，当看vue中这个二分时，越看越迷惑，发现二分真的是一个有太多细节的算法，本来计划半天看完的算法，硬是研究了两三天。 下面的文章只是我做的一篇笔记，但感觉还是有一些价值的，就分享出来吧，未来肯定能帮助到有缘人。

细节一、while的退出条件

使用场景：有序数组中查找元素

关于while循环的终止判断条件是left < right还是left <= right，其实都可以，< 和 <=分别对应了对搜索区间两种不同的描述，具体来说也就是两种情况，第一种是初始化right = arr.lenght - 1，这就表示我们的搜索区间是arr数组的[left, right]。arr[right]也在搜索的范围之内，对应while的终止条件是left <= right，退出循环时对应的情况是left > right，自然[left, right]（区间表示大于等于left且小于等于right的元素）区间内就没有元素了，即搜索区间为空，也就是所有元素搜索完毕（所谓搜索完毕，就是所有元素都因为我们的逻辑判断，被pass掉了，反映在边界指针left与right身上就是它们围成的搜索区间里面没有元素），即right = arr.length - 1与while中left <= right的判断条件是对应的，如下示例：

let left = 0;
let right = arr.length - 1;
while(left <= right) {
  // 缩小区间(增大left，缩小right)，寻找(并返回)答案
}

第二种情况，初始化right = arr.length就代表我们的搜索区间是[left, right)（因为arr[right]出界嘛），对应while(left < right)，因为left < right终止时的情况是left == right，这时候搜索区间[left, right)中就没有元素了，就表示搜索完毕了，如下示例：

let left = 0;
let right = arr.length;
while(left < right) {
  // 缩小区间(增大left，缩小right)，寻找(并返回)答案
}

细节二、搜索区间缩小的力度

然后在while循环的内部，在缩小搜索区间范围，即修改left和right的时候，具体是把left修改为center还是center + 1、right修改为center还是center - 1呢？说白了这就是一个缩小搜索区间从而缩小答案所在范围的过程，所以修改left & right遵循两个原则即可：

  • 与搜索区间的定义对齐：搜索区间的定义是在while循环开始之前定义right之时就已经确定的，比如right = arr.length，即搜索区间是左闭右开区间，这时候我们在while内部修改right为新值时，就要保持以左闭右开区间的定义为基础设置right，具体举个例子，在搜索区间为左闭右开的前提下，right设置为center，那么我们就相当于把arr[center]这个元素排除在搜索区间之外了，如果right设置为center + 1，那么就相当于arr[center]仍在搜索区间内。
  • 与想要的目标对齐：说白了就是针对不同的目的，自行设计如何缩小区间，这就不属于规律性的东西了，完全属于需要我们自己设计的、算法的一部分，举个简单的例子，我们利用二分法寻找数组内的目标元素target，在搜索区间为左右都是闭区间的前提下，某一次while循环体内arr[center] > target，那么我们既然是就要寻找指定的元素target，目的很单纯，自然arr[center]判断不等于target之后就可以排除搜索区间了，自然right可以设置为center - 1，而不是center，总结：二分是方法，是指导思想，但不是具体的答案，细节的确定需要我们根据情况来具体设计。

细节三、中间元素选择时的取整方向

最后，二分算法要防止死循环，概括来说，就是不能让while跳不出去，这里就牵扯最后一个需要注意的细节——中心下标的取整方向，我们先宏观感受一下所谓的while死循环，如果我们每次都能让区间有效缩小，那么跳出while循环是早晚的事儿！但什么情况下会导致区间无法缩小呢，举个抽象的描述性的例子，搜索区间内剩下最后两个元素了，我们向上取整算中间值，然后根据较大的那个元素进入一个if中，这个if中搜索区间不变，这就导致死循环，确定取整方向防止死循环的方法就是：假设只剩下最后两个元素，（这时候向下取整总是会取到较小的元素，向上取整总是会取到较大的元素），这时候看区间的缩小，选择一个取整方向，这个取整方向可以稳定让left增加或者right减小。 下面的例子二中可以具体感受一下（例子二的代码注释）。

plus：判断左区间右移还是右区间左移有个技巧，就是把arr[center]与target按从小到大排列，脑子里想象一个从小到大的队列，比如left arr[center] target right，因为我们是缩小target所在的区间大小，此时arr[center]小于target，移动left或者right后保证target仍然在left和right中间，自然是left右移。

二分实战

例一、寻找有序数组arr中target元素的下标

function binarySearch(arr, target) {
  let left = 0;
  let right = arr.length - 1; // 同时相当于定义了搜索区间为闭区间[left, right]
  while (left <= right) { // left <= right，即当不满足搜索条件时left > right，此时搜索区间[left, right]内没有元素，搜索完毕
    let centerIndex = Math.floor((left + right) / 2); // 这里向上或向下取整都行，因为下面三种if的情况搜索区间都能得到缩减（或者直接return），保证了每一次while循环体的执行都离着跳出循环近了一步，不会陷入死循环
    let centerItem = arr[centerIndex];
    if (target === centerItem) {
      return centerIndex;
    } else if (target < centerItem) {
      right = centerIndex - 1; // centerItem已经判断过了，所以直接排除在搜索区间之外即可
    } else if (target > centerItem) {
      left = centerIndex + 1; // 与上同理，left = centerIndex + 1即排除centerItem
    }
  }
  return "数组中没有target元素";
}

例二、寻找目标元素数组中从左到右第一个小于等于的元素的位置（vue3中getSequence方法源码中的二分应用）

举个例子，对于数组[1, 2, 4, 8]，我们给一个值3，那么从左到右3第一个小于等于的是4，所以返回4的位置下标2。

我们明确二分为整体思想后，就要设计算法，即

  1. 选用哪一种区间（完全闭区间还是左闭右开）
  2. arr[center]大于小于等于target时如何缩小区间（如何改变left和right）
  3. 最后返回什么（经过设计最后哪个变量可以代表答案）

算法设计：

选用左闭右开区间，即while(left < right)，最后返回left。其实我也不知道这个算法从零到一应该怎么分析，前面这两个设计怎么来的实话实说我也没搞懂设计思想的源头，但是基于这两个头和尾设计，我来补充一下中间区间缩小的细节：

  1. 如果arr[center] < target，因为我们要找的元素起码是大于target的，最后返回left，所以自然可以把arr[center]排除出搜索区间了，自然而然更新left为center + 1。
  2. 如果arr[center] === target，这个元素满足target小于等于它，这时候我们缩小右边界，令right = center，这里我们是照应返回值与区间定义的，因为while(left < right)退出循环时left === right，所以我们把右边界缩小为center是合适的，这样最后退出循环时arr[left]一定是一个大于等于target的值，换句话说就是right指针指向的元素一定是满足大于等于target的元素，最后返回时left等于right，这里我表述不清楚，自己悟一悟没问题的。
  3. 如果arr[center] > target，即target < arr[center]（方便想象那个递增队列进而确定移动哪个指针），right左移，arr[center]可以保证是target小于的元素，但不一定是从左到右第一个（最小的），所以同上，我们也让right = center即可。

算法实现：

function binarySearch(arr, target) {
  let left = 0;
  let right = arr.length - 1;
  while (left < right) {
    let centerIndex = Math.floor((left + right) / 2); // 一定要选择向下取整，运用上面的分析方法，在算法的最后，搜索区间内剩下了两个元素，左右指针分别指向2和4，然后目标元素是3，如果我们向上取整，那么中间元素就是4，那么右指针左移，进入到下面二个if中，...，进入死循环。
    // 所以选择向下取整，因为left = centerIndex + 1，即区间必定缩小，这样永远不会因为最后时因为取整而导致区间无法缩小
    let centerItem = arr[centerIndex];
    if (target < centerItem) {
      right = centerIndex;
    } else if(target === centerItem) {
      right = centerIndex;
    } else if (target > centerItem) {
      left = centerIndex + 1;
    }
  }
  return left;
}

plus：最后一个算法的例子真的不是很简单，我讲的也不是很好，想要弄明白需要自己去多思考，但我感觉重点不是具体的算法咋解，而是上面关于细节的总结，希望能帮到你。

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