深入理解KMP算法

简介

KMP算法是一种经典的字符串匹配算法，它的核心思想是利用已匹配的部分信息，尽可能减少比较次数，从而提高匹配效率。具体来说，KMP算法维护一个next数组，用于存储匹配失败时应该回溯到哪个位置重新开始匹配。这个数组的计算过程可以使用动态规划思想来理解。

前缀和后缀

首先，我们需要了解前缀和后缀概念。对于一个字符串S，它的前缀是指从开头开始的任意一个子串，比如S的前缀有S本身、S的第一个字符、S的前两个字符等等；而S的后缀是指从结尾开始的任意一个子串，比如S的后缀有S本身、S的最后一个字符、S的后两个字符等等。

实现过程

接下来，我们以字符串“ABCDABD”和“ABCABC”的匹配为例，来具体说明KMP算法的实现过程。

计算next数组

我们以主串ABCDABD和模式串ABCABC为例，来计算next数组。

首先，我们将模式串的前两个字符“AB”作为第一个前缀，后两个字符“BC”作为第一个后缀，它们没有公共部分，因此next[2]的值为0。接下来，我们将模式串的前三个字符“ABC”作为第二个前缀，后三个字符“ABC”作为第二个后缀，它们的公共部分是“ABC”，因此next[3]的值为1。

同理，我们可以得到next数组的其他值：

next[1] = 0
next[2] = 0
next[3] = 1
next[4] = 2
next[5] = 0
next[6] = 1

匹配过程

接下来，我们以主串“ABCDABD”和模式串“ABCABC”为例，来说明KMP算法的匹配过程。

假设我们已经匹配到主串的第i个字符和模式串的第j个字符，如果S[i]等于P[j]，那么我们继续往下匹配；否则，我们需要根据next数组回溯到某个位置重新开始匹配。

具体来说，我们将模式串的前j-1个字符中最长的相等的前缀和后缀的长度记为len，那么我们就可以将模式串向右移动j-len个位置，从而避免重复比较已经匹配过的字符。具体的匹配过程如下：

i = 1, j = 1: A != A, j = next[1] = 0, j = 0
i = 1, j = 0: A != B, j = next[0] = -1, j = 0
i = 1, j = 0: A == A, j = j + 1 = 1
i = 2, j = 1: B != B, j = next[1] = 0, j = 0
i = 2, j = 0: B != A, j = next[0] = -1, j = 0
i = 2, j = 0: B == A, j = j + 1 = 1
i = 3, j = 1: C != B, j = next[1] = 0, j = 0
i = 3, j = 0: C != A, j = next[0] = -1, j = 0
i = 3, j = 0: C == A, j = j + 1 = 1
i = 4, j = 1: D != B, j = next[1] = 0, j = 0
i = 4, j = 0: D != A, j = next[0] = -1, j = 0
i = 4, j = 0: D == A, j = j + 1 = 1
i = 5, j = 1: A == A, j = j + 1 = 2
i = 6, j = 2: B == B, j = j + 1 = 3
i = 7, j = 3: D != C, j = next[3] = 1, j = 1
i = 7, j = 1: D != B, j = next[1] = 0, j = 0
i = 7, j = 0: D != A, j = next[0] = -1, j = 0
匹配失败

从上面的匹配过程可以看出，KMP算法避免了重复比较已经匹配过的字符，因此可以大大提高匹配效率。同时，由于next数组的计算只需要一次，因此KMP算法的时间复杂度为O(m+n)，其中m和n分别是主串和模式串的长度。

代码实现

以下是 Typescript 实现 KMP 算法的代码：

function kmp(str: string, pattern: string): number {
  const next: number[] = getNext(pattern);
  let i: number = 0, j: number = 0;
  while (i < str.length && j < pattern.length) {
    if (j === -1 || str[i] === pattern[j]) {
      i++;
      j++;
    } else {
      j = next[j];
    }
  }
  if (j === pattern.length) {
    return i - j;
  } else {
    return -1;
  }
}

function getNext(pattern: string): number[] {
  const next: number[] = [-1];
  let i: number = 0, j: number = -1;
  while (i < pattern.length - 1) {
    if (j === -1 || pattern[i] === pattern[j]) {
      i++;
      j++;
      next[i] = j;
    } else {
      j = next[j];
    }
  }
  return next;
}

同样，kmp函数接受两个参数，分别是主串str和模式串pattern，返回模式串在主串中第一次出现的位置；如果模式串没有在主串中出现，则返回-1。getNext函数用于计算模式串的next数组。