算法学习系列(一)：小和问题

在一个数组中，每一个数的左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个数组的小和。
例子：[1,3,4,2,5]
1左边比1小的数，没有；3左边比3小的数，1；4左边比4小的数，1,3；2左边比2小的数，1；5左边比5小的数，1,2,3,4；所以小和为 1+1+3+1+1+2+3+4 = 16

暴力解法

双重循环，每次都从前往后比较，判断是否需要累加
时间复杂度$：O(N^2)$

public class SmallSum{

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,3,4,2,5};
        int sum = violence(arr);
        System.out.println(sum);
    }

    public static int violence(int[] arr){
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if(arr[j] < arr[i]){
                    sum += arr[j];
                }
            }
        }
        return sum;
    }
}

归并排序解法

从下往上比较(图中顺序说明)：
1与3比较 ----> 小和：1个1 ， 顺序 1，3
1,3与4比较 ----> 小和：1个1+1个3 ， 顺序 1，3，4
2与5比较 ----> 小和：1个2 ， 顺序 2，5
1,3,4与2,5比较 ----> 小和：2个1+1个3+1个4 ， 顺序 1，2，3，4，5 归并排序解法的时间复杂度为 $:O(N{\log_{}{N}})$

public class SmallSum{

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,3,4,2,5};
        int sum = process(arr, 0, arr.length - 1);
        System.out.println(sum);
    }

    /**
     * 递归调用
     * @param arr
     * @param L
     * @param R
     */
    public static int process(int[] arr, int L, int R){
        if(L == R){
            return 0;
        }
        //计算中点
        int mid = L + ((R - L) >>1);
        //左边小和+右边小和+合并时候计算的小和
        return process(arr, L, mid) + process(arr, mid + 1, R) + merge(arr, L , mid, R);
    }

    /**
     * 合并两个数组
     * @param arr
     * @param L
     * @param M
     * @param R
     */
    public static int merge(int[] arr, int L, int M, int R){
        int[] help = new int[R - L + 1];
        int i = 0;
        int p1 = L;
        int p2 = M+1;
        int sum = 0;
        while(p1 <= M && p2 <= R){
            if(arr[p1] < arr[p2]){
                //边排序边计算小和，排序是为了快速计算，不用去比较
                sum += ((R-p2+1) * arr[p1]);
            }
            help[i++] = arr[p1] <= arr[p2]? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while(p1 <= M){
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while(p2 <= R){
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (int j = 0; j < help.length; j++) {
            arr[L+j] = help[j];
        }
        return sum;
    }
}