寻找两个正序数组的中位数
首先，让我们来了解一下中位数的定义。中位数是排好序的数组中间的数字，如果数组长度为偶数，则是中间两个数字的平均值。对于两个正序数组，我们需要找到它们的中位数。
首先，让我们来看一个简单的示例。假设我们有两个数组
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
我们需要将它们合并为一个排序数组
merged = [1, 2, 3]
然后，我们可以找到此排序数组的中位数
median = 2
这是一个相对简单的问题，合并两个数组并排序需要 O(n log n) 的时间复杂度，其中 n 是两个数组的长度之和。 但是，这个问题还有一种更有效的解决方法，它需要 O(log (m+n)) 的时间复杂度，其中 m 和 n 分别是两个数组的长度。这种方法称为二分查找。接下来，我们将详细了解如何使用二分查找来找到两个正序数组的中位数。
将问题转化为寻找第k个元素
要找到两个正序数组的中位数，首先需要了解如何找到排序数组的第k个元素。
假设我们有两个正序数组 nums1 和 nums2，它们的长度分别为 m 和 n，我们要找到这两个数组合并后的排序数组中的第 k 个元素，其中 1 <= k <= m+n。
我们可以定义 i 和 j 两个指针分别指向 nums1 和 nums2 的起始位置，然后比较 nums1[i] 和 nums2[j]，将指向值较小的那个数组的指针向后移动一个位置，重复这个过程直到找到排序数组的第 k 个元素。可以表示为如下伪代码。
int i = 0, j = 0, k;
for (k = 1; k < kth; k++) {
if (i == m) j++;
else if (j == n) i++;
else if (nums1[i] < nums2[j]) i++;
else j++;
}
int kth_elem = (i == m) ? nums2[j] : (j == n) ? nums1[i] : Math.min(nums1[i], nums2[j]);
上述伪代码中，kth 表示需要找到的排序数组的第k个元素。
接下来，我们将使用二分查找来优化这个算法。
使用二分查找
二分查找的思想是将一个较大的问题分成两个规模较小但结构相似的子问题，然后递归的解决这些子问题，最终将结果合并起来。我们可以将问题转换为寻找排序数组的第 (m+n)/2 个元素，如果数组的长度为偶数，则需要找到第 (m+n)/2 和 (m+n)/2+1 个元素的平均值。
我们可以分别定义两个指针 p1 和 p2 分别指向 nums1 和 nums2 的起始位置。我们需要找到 p1 和 p2 两个指针分别移动 k/2 个位置后指向的值，记为 mid1 和 mid2。如果 mid1 小于 mid2，则说明中位数位于 nums1[p1,...] 和 nums2[...p2] 之间，因为 nums1[0,...,p1-1] 一定小于 mid1，而 nums2[0,...,p2-1] 一定小于 mid1。 因此，我们需要将 p1 向右移动 (k+1)/2 个位置。
此时，我们再次将 mid1 和 mid2 进行比较，重复上述操作直到找到排序数组的第 (m+n)/2 个元素。在实现中，我们需要特别注意以下情况。
- 一个数组可能比另一个数组短。
- 数组可能为空。
根据以上情况，我们可以定义以下两个辅助函数。
// 寻找 A 数组和 B 数组中第 k 个元素
public int findKth(int
// 寻找 A 数组和 B 数组中第 k 个元素
public int findKth(int[] A, int i, int[] B, int j, int k) {
// 当 A 数组为空时，直接返回 B 数组第 k 个元素
if (i >= A.length) return B[j + k - 1];
// 当 B 数组为空时，直接返回 A 数组第 k 个元素
if (j >= B.length) return A[i + k - 1];
// 当 k 等于 1 时，返回两个数组的最小值
if (k == 1) return Math.min(A[i], B[j]);
// 分别找到 A 数组 第 k/2 个元素和 B 数组 第 k/2 个元素
int mid1 = (i + k/2 - 1 < A.length) ? A[i + k/2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
int mid2 = (j + k/2 - 1 < B.length) ? B[j + k/2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
// 如果 mid1 小于 mid2，说明中位数位于 nums1[p1,...] 和 nums2[...p2] 之间
if (mid1 < mid2)
return findKth(A, i + k/2, B, j, k - k/2);
else return findKth(A, i, B, j + k/2, k - k/2); }
// 寻找 A 数组和 B 数组的中位数
public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) { int m = A.length, n = B.length; int k = (m + n) / 2;
// 如果数组长度之和是奇数，则直接返回第 k+1 个元素 if ((m + n) % 2 == 1) return findKth(A, 0, B, 0, k + 1);
// 如果数组长度之和是偶数，则返回第 k 个元素和第 k+1 个元素的平均值
else
return (findKth(A, 0, B, 0, k) + findKth(A, 0, B, 0, k + 1)) / 2.0; }
现在，我们已经掌握了使用 Java 实现二分查找来找到两个正序数组的中位数。接下来，我们将使用一些示例来演示如何在实际问题中使用它。
示例
示例 1
输入：
nums1 = [1, 3] nums2 = [2]
输出：
2.0
解释：合并后的排序数组为 [1, 2, 3]，中位数为 2。
int[] nums1 = {1, 3};
int[] nums2 = {2};
Solution solution = new Solution();
double result = solution.findMedianSortedArrays(nums1, nums2);
System.out.println(result); // 2.0
示例 2
输入：
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
输出：
2.5
解释：合并后的排序数组为 [1, 2, 3, 4]，中位数为 (2 + 3) / 2 = 2.5。
int[] nums1 = {1, 2};
int[] nums2 = {3, 4};
Solution solution = new Solution();
double result = solution.findMedianSortedArrays(nums1, nums2);
System.out.println(result); // 2.5
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示例 3
输入：
nums1 = [0, 0]
nums2 = [0, 0]
输出：
0.0
解释：合并后的排序数组为 [0, 0, 0, 0]，中位数为 (0 + 0) / 2 = 0.0。
int[] nums1 = {0, 0};
int[] nums2 = {0, 0};
Solution solution = new Solution();
double result = solution.findMedianSortedArrays(nums1, nums2);
System.out.println(result); // 0.0
总结
本文讨论了如何使用二分查找来找到两个正序数组的中位数。我们将问题转换为寻找排序数组的第 k 个元素，然后使用二分查找来优化算法，最终达到了更快的时间复杂度。最后，我们使用几个示例来说明如何在实际问题中使用此算法。
