最长公共子序列

问题背景
- 给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。（子序列不一定连续）
Dp分析

状态表示
- 二维的状态表示f(i,j)
- f(i, j)表示的是哪一个集合：所有满足如下条件的集合
  - 所有在第一个序列中的前i个字母中出现，且在第二个序列中的前j个字母中出现的公共子序列
- f(i, j)存的是什么属性：Max， Min，数量；在这里f(i,j)存的应该是最大值，即所有满足这种条件的最长的公共子序列的长度
状态计算：f(i,j)可以怎么算出来？
- 这里可以将集合分为四个子集
  - 子序列中不包含A中的第 i 个字符和B中的第 j 个字符
    - f(i, j) = f(i - 1, j - 1)
  - 子序列中不包含A中的第 i 个字符但包含B中的第 j 个字符
    - f(i, j) = f(i - 1, j)
    - 注意，这里的 f(i, j) = f(i - 1, j) 的含义是所有在第一个序列中的前i-1个字母中出现，且在第二个序列中的前j个字母中出现的最长公共子序列，这样的 f(i ,j) 并不一定满足子序列中不包含A中的第 i 个字符但包含B中的第 j 个字符，但是这种情况一定在这样的 f(i ,j) 中， f(i ,j) 这样子表示会出现重复，但由于题目求的是最大值，因此重复也无所谓
  - 子序列中包含A中的第 i 个字符但不包含B中的第 j 个字符
    - f(i, j) = f(i, j - 1)
    - 和第二个子集类似
  - 子序列中包含A中的第 i 个字符和B中的第 j 个字符
    - f(i, j) = f(i - 1, j - 1) + 1
- 注意，第一个子集 ∈ ( 第二个子集 ∩ 三个子集 )，因此 f(i, j) = max( f(i - 1, j), f(i, j - 1), f(i - 1, j - 1) + 1 )

代码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
        if (a[i] == b[j]) {
            f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    }
}

练习

01 最长公共子序列

题目

题解

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static final int N = 1010;
    public static char[] a = new char[N];
    public static char[] b = new char[N];
    public static int[][] f = new int[N][N];
    public static int n, m;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter pw = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        String[] str1 = br.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(str1[0]);
        m = Integer.parseInt(str1[1]);
        String str2 = br.readLine();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i + 1] = str2.charAt(i);
        }
        String str3 = br.readLine();
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            b[i + 1] = str3.charAt(i);
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                if (a[i] == b[j]) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        pw.println(f[n][m]);
        br.close();
        pw.close();
    }
}

线性DP - 最长公共子序列

最长公共子序列

练习

01 最长公共子序列