Present（差分/树状数组）

Problem - C - Codeforces

原题题面

题目描述

给定长度为 $n$ 的数组 $a$ 和 $m$ 次操作，每次操作可以选择相邻的长度为 $w$ 的数组元素，使其加 $1$。

询问在进行 $m$ 次操作后，数组 $a$ 中最小的元素的最大值是多少。

输入格式

第一行包含三个数，为 $n, m, w(1 \le w\le n\le 10^5;; 1\le m \le 10^5)$。

第二行包含 $n$ 个数，为 $a\_1, a\_2 \cdots a_n(1\le a_i \le 10^9)$。

输出格式

输出一个数，表示最终答案。

input1

6 2 3
2 2 2 2 1 1

output1

2

input2

2 5 1
5 8

output2

9

题目分析

一开始我想的是像 $w=1$ 那样暴力枚举所有大小的 $w$。如以下 check 代码：

bool check(int x)
{
    vector<int> f;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) hf[i] = h[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) if (hf[i] < x) f.push_back(i);
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < f.size(); i ++)
    {
        if (hf[f[i]] >= x) continue;
        int t = x - hf[f[i]];
        res += t;
        int j = i + 1;
        while (j < f.size() && f[j] - f[i] < w)
        {
            hf[f[j]] += t;
            j ++;
        }
        if (res > m) return false;
    }
    return true;
}

在第一次提交后，发现得到 TLE 的结果，经过仔细计算后，发现可以构造数据将 check 函数卡成 $O(n^2)$ 的复杂度，则最终的复杂度为 $O(n^2logn)$。

后来经过仔细思考，最终形成以下思路：

首先数组中所有无法达到 check 传值的元素排成一排，则可以按从左到右的顺序进行依次变大，则对于每个元素，我们需要知道是否在其前 w-1 个元素中，存在元素变大进而影响到当前元素。

为此我们可以采用一种 差分思想 的做法。

即定义一个变量统计对当前元素的所有操作数，同时新开一个数组记录对每一个初始操作所能覆盖的最大范围（即 w）。

对某一元素进行判断时只需要比较当前元素及 check 值和操作数之差即可。

复杂度优化为 $O(nlogn)$。

而另一种做法树状数组则在下一文章展开。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m, w;
int h[N], f[N];

bool check(int x)
{
    for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = 0;

    int s = 0, res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        s += f[i];
        if (h[i] >= x - s) continue;
        int dif = x - s - h[i];
        s += dif, res += dif;
        if (i + w <= n) f[i + w] -= dif;
    }
    return res <= m;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> m >> w;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> h[i];

    int l = 1, r = 1e10;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << r;
    return 0;
}