动态规划-343. 整数拆分

4月日新计划更文活动 第4天

前言

动态规划专题，从简到难通关动态规划。

每日一题

今天的题目是 343. 整数拆分，难度为中等

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

题解

动态规划

首先考虑输入的数字和之前的数字之前的关联是什么，假设现在给你一个数字 n ，你要去求他拆分过后数字的最大乘积，在不考虑性能的情况下，肯定就是一个个去拆分，两个数，三个数

但是这样会发现，你没有办法规定好拆分多少个数，当 n 越大，你这个拆分的可能性也就越多。

那么我们先假设 f(n) 为 n 这个数拆分过后能够得到的最大乘积，那么 f(n-1) 就为 n-1 拆分过后能够得到的最大乘积，那么我们要怎么通过 f(n-1) 去得到 f(n) 呢，假设从 1 开始将 n 进行拆分，新建一个遍历变量 j，那么在每一轮遍历当中，得到 f(n) 的方式有两种，一种是只拆分两个数 那也就是 j * n-j 在或者就是继续进行拆分，这个时候我们就可以联想到 f(n-1) 的含义： n-1 拆分过后能够得到的最大乘积。

那么就能够得到 f(n) = max(j*(n-j), j*f(n-j))

利用动态规划的五部曲来解决接下来的问题，

1. 确定dp数组。根据上面的分析，dp数组应该保存每一个n的最大乘积，也就是dp[i] 代表拆分 i 能够得到的最大乘积。

2. 确定递推公式，在分析当中已经确定了前后两个n之间的关系，这也就是dp数组中前后两位的关系，并且因为我们是从 j = 1 开始遍历，不断地去更新 dp[i] 所以每次都要对比前后两个拆分的最大值。 dp[i] = max(dp[i], max(j * (i-j), j * dp[i-j]))

3. dp数组初始化，首先明确，拆分 1 是没有意义的，最少要从2开始拆分，但是 1 拆分与否得到的都是 1，所以初始化的时候当做 1 进行初始化就好，所以初始化可以初始化 dp[1] = dp[2] = 1

4. 确定遍历顺序，因为我们已经初始化了 1,2 两种情况，所以自然 i 需要从 3 开始遍历，并且一定得是从前往后，3 需要 2 的值，4 需要 3 的值。

5. 拿 n=10 作为例子画一下dp数组的值。

根据动态规划得到代码：

function integerBreak(n: number): number {
  let dp = new Array(n+1).fill(1)
  for(let i=3;i<=n;i++){
    for(let j=1;j<i-1;j++){
      dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i-j), j * dp[i-j])) 
      // dp[i] = 
      // j * (i-j)
      // j * dp[i-j]
    }
  }
  return dp[n]
};