问题背景

Dp分析

状态表示
- 二维状态表示f(i,j)
- f(i,j)表示的是哪一个集合：所有满足如下条件的集合
  - 所有从起点出发，走到 (i, j) 的路径
- f(i,j)存的是什么属性：Max， Min，数量；在这里f(i,j)存的应该是最大值，即路径上数字和的最大值 * 状态计算：f(i,j)可以怎么算出来？
- 这里可以将集合分为两个子集
  - 来自左上
    - f(i, j) = f(i - 1, j - 1) + a(i, j)
  - 来自右上
    - f(i, j) = f(i - 1, j) + a(i, j)
- 因此 f(i, j) = max( f(i - 1, j - 1), f(i - 1, j) ) + a(i, j)

代码

f[1][1] = a[1][1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + a[i][j];
    }
}

优化：将二维转换成一维
- 观察状态计算的过程，可以发现两个特点：
  - f( i ) 层的计算只用到了f(i - 1) 层
  - f( i ) 层中的 j 的计算只用到了**f(i - 1)**层中的 j 和 j - 1
- 因此可以做如下优化
  - 将 i 这一维直接优化掉，i 的每一层循环中的 j 都在原先的 j 上进行覆盖
  - j 的每一层循环中要注意 ,在计算 j 时要用到当前上一层 j和 j - 1 ，由于j - 1 < j，所以在这一层循环中要从后往前遍历，防止 j - 1 被提前更新
- 代码
  - ```
  f[1] = a[1][1];
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
      for (int j = n; j >= 1; j--) {
          f[j] = Math.max(f[j - 1], f[j]) + a[i][j];
      }
  }
```

练习

题目

题解1

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static final int N = 510;
    public static final int INF = 0x3f3f3f3f;
    public static int[][] a = new int[N][N];
    public static int[][] f = new int[N][N];
    public static int n;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter pw = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        a[1][1] = Integer.parseInt(br.readLine());
        //i表示层数
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            String[] str1 = br.readLine().split(" ");
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                a[i][j] = Integer.parseInt(str1[j - 1]);
            }
        }
        //注意处理边界，自己模拟一下
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                f[i][j] = -INF;
            }
        }

        f[1][1] = a[1][1];
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + a[i][j];
            }
        }
        int res = -INF;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res = Math.max(res, f[n][i]);
        }
        pw.println(res);
        br.close();
        pw.close();
    }
}

题解2

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static final int N = 510;
    public static final int INF = 0x3f3f3f3f;
    public static int[][] a = new int[N][N];
    public static int[] f = new int[N];
    public static int[] g = new int[N];
    public static int n;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter pw = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        a[1][1] = Integer.parseInt(br.readLine());
        //i表示层数
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            String[] str1 = br.readLine().split(" ");
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                a[i][j] = Integer.parseInt(str1[j - 1]);
            }
        }
        //注意处理边界，自己模拟一下
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            f[i] = -INF;
        }

        f[1] = a[1][1];
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = n; j >= 1; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j - 1], f[j]) + a[i][j];
            }
        }
        int res = -INF;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res = Math.max(res, f[i]);
        }
        pw.println(res);
        br.close();
        pw.close();
    }
}

线性DP - 数字三角形

练习