树的最长路径（DP）树的最长路径（Acwing.com） 2023年4月11日碧海丹丘无鹤驾，绿蓑青笠有渔舟。

题目描述

给定一棵树，树中包含 $n$ 个结点（编号 $1$ ~ $n$ ）和 $n−1$ 条无向边，每条边都有一个权值。

现在请你找到树中的一条最长路径。

换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远。

注意：路径中可以只包含一个点。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 。

接下来 $n−1$ 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$ ，表示点 $a_i$ 和 $b_i$ 之间存在一条权值为 $c_i$ 的边。

输出格式

输出一个整数，表示树的最长路径的长度。

数据范围

$1≤n≤10000$ ,
$1≤a_i,b_i≤n$ ,
$−10^5≤c_i≤10^5$

输入样例：

输出样例：

题目分析

这是一道 树形DP 的题目。

首先我们任取一个节点作为树根，以此为基础建立一个二叉树的逻辑结构图。

我们定义这棵树中最长的任意两点间的路径长度为树的直径，

首先我们考虑暴力做法，即依次枚举直径的起点及终点，可以知道仅枚举端点复杂度便为 $O(n^2)$ ，无法通过本题。

转变思想，我们选择 枚举直径的中间节点，以根节点为起点，依次向下进行 $dfs$ 查找，可以知道最终的直径会以某一节点为中间节点，并向下选择两条最长的子路径（也可能是一条）。

这里同时运用了 DP 的思想，即对于每个节点的所有子路径，我们只需要知道其中最长的两条路径之和，在深度优先遍历中保证每个节点只会遍历到一次。

最终复杂度为 $O(m)$ 。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10010, M = N * 2;

int n;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int res;    // 表示树的直径最大值

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

int dfs(int u, int fa)
{
    int dist = 0;       // 表示当前点向下走的最大值
    int d1 = 0, d2 = 0;
    
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == fa) continue;
        int d = dfs(j, u) + w[i];
        dist = max(dist, d);
        
        if (d >= d1) d2 = d1, d1 = d;
        else if (d >= d2) d2 = d;
    }
    
    res = max(res, d1 + d2);
    
    return dist;
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
    }
    
    dfs(1, -1);
    cout << res;
    return 0;
}