Catching Cheaters（DP）Problem - 1446B - Codeforces 2023年4月10日

原题题面

题目描述

给你两个字符串 $A$ 和 $B$ ，对于两个字符串 $C$ ， $D$ 我们定义一个函数， $S(C,D)=4 \cdot LCS(C,D)-|C|-|D|$ ， $LCS(C,D)$ 代表 $C$ 和 $D$ 的最长公共子序列， $|X|$ 代表字符串 $X$ 的长度。

现在，我们设字符串 $C$ 和 $D$ 分别为字符串 $A$ 和 $B$ 的子串，请计算 $S(C,D)$ 的最大值。

输入格式

第一行给出两个数字 $n$ 和 $m (1≤n,m≤5000)$ 代表 $A$ 字符串和 $B$ 字符串的长度。

第二行给出一个长度为 $n$ 的只包含小写字母的字符串 $A$ 。

第三行给出一个长度为 $m$ 的只包含小写字母的字符串 $B$ 。

输出格式

输出 $S(C,D)$ 的最大值， $C$ 代表 $A$ 的子串， $D$ 代表 $B$ 的子串。

input1

4 5
abba
babab

output1

input2

8 10
bbbbabab
bbbabaaaaa

output2

题目分析

这是一道 线性DP 的题目。

我们可以巧妙地由求最长公共子序列的思想来思考本题。

定义 $f[i][j]$ 表示字符串 $A$ 的前 $i$ 个字符和字符串 $B$ 的前 $j$ 个字符中，函数 $S$ 的最大值。

考虑转移方式，若某一字符串增加一个字符且未产生收益，相当于原 $S$ 值减一。

则 $f[i][j]$ 可以由 $f[i][j-1] - 1$ 转移而来，也可以由 $f[i-1][j] - 1$ 转移而来。

若 $A[i]==B[j]$ ，则 $f[i][j]$ 可以由 $f[i-1][j-1]+2$ 转移而来。

可是题目要求的是某一连续子串，而此解法仅能解答以第一个字符为起点的子串。

为了解决这个问题，我们在每次更新函数 $S$ 时，需要保证 $S$ 的最小值大于等于 $0$ 。我们假设最优解对应的两个子串分别为字符串 $A$ 的 $a_{l1} - A_{r1}$ 和字符串 $B$ 的 $b_{l2}-b_{r2}$ ，那么我们可以推断以 $a_{l1-1}$ 和以 $b_{l2-1}$ 为结尾的子串组合的 $S$ 一定小于 $0$ 。

若要保证最终答案的正确性，我们只需要将 $f[l_1-1][l_2-1] = 0$ 即可，为方便最终计算，我们可以将所有 $S$ 值为负的子串组合的 $S$ 均取 $0$ 。

复杂度为 $O(nm)$ 。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 5010;

int f[N][N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    string a, b;
    cin >> a >> b;
    a = " " + a, b = " " + b;

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = max(f[i][j - 1] - 1, f[i][j]);
            f[i][j] = max(f[i - 1][j] - 1, f[i][j]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 2;
            res = max(res, f[i][j]);
        }
    cout << res;
    return 0;
}