一文简单入门动态规划

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前言

在做题的过程中一定经常听说 dp dp，那么什么是 dp。dp 是 Dynamic Programming 动态规划的简称，用于解决一个问题有很多重叠的子问题，简单的来说，就是一个问题可以有两个小的问题组成，这比较类似于分治的思想，举一个最简单的例子--斐波那契数列

斐波那契数列为 0,1,1,2,3,5,8... 等等，不难发现，在这个数列当中，第n的数是由前两个数相加得到的，这就是典型的动态规划思路，f(n) = f(n-1) + f(n-2)

简单介绍

动态规划的题型有特别多，比如说 背包问题，子序列问题，股票问题，这在leetcode上有非常多的经典题目，但是动态规划始终逃不过的几个点就是：

  1. 你需要去定义动态规划保存状态的变量，

  2. 确定每一个状态之间的关系，

  3. 状态变量的初始值是什么，

  4. 如何去遍历状态转化的过程，

  5. 推导最后的状态值

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

经典题目

斐波那契数列 ： 0 1 1 2 3 5 8

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

求第 n 个斐波那契数是多少

然后我们根据几个步骤来完成这道递归题目：

  1. 定义动态规划保存状态的变量

在动态规划当中，一半保存状态的变量都是使用数组，当然这不是一定的，在这道题当中，我们就可以定义 dp数组，并且 dp[i] 代表第 i 个斐波那契数的值，dp[0] 代表第 0 个数，也就是 0，dp[1] 为 1，dp[2] 为 1，以此类推。

  1. 确定每一个状态之间的关系，

也就是确定递推公式，这道题的递推公式题目已经告诉我们了，就是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)

  1. 状态变量的初始值是什么

根据斐波那契数列的前几个值，以及递推公式 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，我们可以发现，前两个数由于不存在-1和-2的位置，所以是没有办法通过公式推导出来的，这时候就需要我们初始化数组的时候赋予初始值

let dp = [0,1]

  1. 如何去遍历状态转化的过程 按照递推公式，由第三个数开始往下进行计算遍历，当前的数是由前两个数相加得到的。

  2. 推导最后的状态值
    当输入需要的第 n 个 斐波那契数列的值得时候，我们就可以通过 递推公式 进行拆分，拆成一个个小的值相加。

为什么我们需要dp数组？从题目给的递推公式来看，似乎是一个递归就能够解决的问题，也确实，递归公式可以这样写。

function climbStairs1(n) {
    if(n==0) {
        return 0
    }
    if(n==1) {
        return 1
    }
    return climbStairs1(n-1) + climbStairs1(n-2)
};

但是这样的递归树状图为

我们会发现，很多个斐波那契数都是会重复计算的，比方说 f(2) 它是由 f(1) + f(0) 得到的，但是在递归的过程中每次碰到 f(2) 都会去递归成 f(1) + f(0)，那么我们是不是可以用一个数组，把当前的斐波那契数保存下来，在下次碰到的时候，直接先判断数组中是否含有，没有再去递归获取，这样就能够大大减少递归树的分支，这也就是dp数组的作用--保存递归结果

如此一来，递归图就变成了

image.png

很明显大幅减少了计算的过程。

所以利用dp数组，我们能够得到题解：

function climbStairs2(n) {
    let map = new Map()
    // 新建表存放数据
    const dfs = (n) => {
        if(n==0) {
            return 1
        }
        if(n==1) {
            return 2
        }
        if(map.get(n)) {
            // 表中已经存在，直接返回
            return map.get(n)
        }else {
            // 表中不存在进行计算
            const t = dfs(n-1) + dfs(n-2)
            map.set(n,t)
            return t
        }
    }
    return dfs(n)
};
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