一、题目描述
123.买卖股票的最佳时机III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出: 6 解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。 示例 2:
输入: [1,2,3,4,5] 输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。你只能在前一天持有一支股票。
188.买卖股票的最佳时机IV
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [2,4,1], k = 2 输出: 2 解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。 示例 2:
输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2 输出: 7 解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
二、算法分析
这两道题目都是买卖股票的最佳时机问题，但是限制了交易次数。因此，我们可以使用动态规划解决。在这里，我们可以使用两个二维数组来表示当前的状态。其中，dp[i][j][0]表示第i天，已经进行了j次交易，手上没有股票的最大利润，dp[i][j][1]表示第i天，已经进行了j次交易，手上有股票的最大利润。
对于第一道题目，我们需要进行两次交易。因此，我们需要定义四个状态，分别对应不同的交易次数和手上是否有股票的情况。状态转移方程为：
dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i]) dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i]) dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i]) dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
对于第二道题目，我们需要进行k次交易。因此，我们需要定义2*k个状态，分别对应不同的交易次数和手上是否有股票的情况。状态转移方程为：
dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i]) dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i])
其中，j表示第j次交易。
三、Java代码实现
代码如下：
123.买卖股票的最佳时机III
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n == 0) return 0;
int[][][] dp = new int[n][3][2];
dp[0][0][0] = 0;
dp[0][0][1] = -prices[0];
dp[0][1][0] = 0;
dp[0][1][1] = -prices[0];
dp[0][2][0] = 0;
dp[0][2][1] = Integer.MIN_VALUE/2;
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0][0] = dp[i-1][0][0];
dp[i][0][1] = Math.max(dp[i-1][0][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]);
dp[i][1][0] = Math.max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][0][1] + prices[i]);
dp[i][1][1] = Math.max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][1][0] - prices[i]);
dp[i][2][0] = Math.max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][1][1] + prices[i]);
dp[i][2][1] = Integer.MIN_VALUE/2;
}
return Math.max(dp[n-1][0][0], Math.max(dp[n-1][1][0], dp[n-1][2][0]));
}
188.买卖股票的最佳时机IV
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n == 0) return 0;
if (k > n/2) return maxProfit(prices);
int[][][] dp = new int[n][k+1][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 1; j <= k; j++) {
if (i == 0) {
dp[i][j][0] = 0;
dp[i][j][1] = -prices[i];
continue;
}
dp[i][j][0] = Math.max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i]);
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i]);
}
}
return dp[n-1][k][0];
}
private int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n == 0) return 0;
int[][] dp = new int[n][2];
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n-1][0];
}
四、总结
本文介绍了使用动态规划解决买卖股票的最佳时机III和买卖股票的最佳时机IV的思路，并给出了相应的Java代码实现。这两道题目都是动态规划中经典的题目，通过对动态规划的运用，可以很好地解决这类问题。同时，也需要注意题目中的限制条件，避免出现错误。
