此文参考了labuladong的一方法团灭Leetcode股票买卖并根据自己的理解做出了一些修改，尤其是关于交易上限 k的描述，以及状态转移方程的解释
如果你希望直接看状态转移方程可以直接跳转状态转移方程
题目：
//给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
//
// 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
//
// 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
//
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// 示例 1：
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//输入：k = 2, prices = [2,4,1]
//输出：2
//解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
//
// 示例 2：
//
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//输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
//输出：7
//解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
// 随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3
//。
//
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// 提示：
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// 0 <= k <= 100
// 0 <= prices.length <= 1000
// 0 <= prices[i] <= 1000
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package questions.leetcode.editor.cn
fun main() {
val solution = BestTimeToBuyAndSellStockIv.Solution()
val result = solution.maxProfit(2, intArrayOf(3, 2, 6, 5, 0, 3))
println(result)
}
class BestTimeToBuyAndSellStockIv {
// dp[d][0][0] = 0
// dp[d][0][1] = 不合法
// dp[d][k][2]
// dp[d][k][0] = max(dp[d-1][k][0], dp[d-1][k][1]+prices[d])
// dp[d][k][1] = max(dp[d-1][k][1], dp[d-1][k-1][0]-prices[d])
// dp[d][1][0] = max(dp[d-1][1][0], dp[d-1][0][1]+prices[d])
// = max(dp[d-1][1][0], 不合法)
// dp[d][1][1] = max(dp[d-1][1][1], dp[d-1][0][0]-prices[d])
// = max(dp[d-1][1][1], -prices[d])
// dp[0][k][0] = max(dp[-1][k][0], dp[-1][k-1][1]+prices[d])
// = 0
// dp[0][k][1] = max(dp[-1][k][1], dp[-1][k][0]-prices[d])
// = -prices[d]
//leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
class Solution {
fun maxProfit(kk: Int, prices: IntArray): Int {
val days = prices.size
if (days == 0) {
return 0
}
val dp = Array(days) {
Array(kk + 1) {
IntArray(2)
}
}
for (d in 0 until days) {
dp[d][0][0] = 0
dp[d][0][1] = Int.MIN_VALUE
}
for (d in 0 until days) {
for (k in 1..kk) {
if (d == 0) {
dp[d][k][0] = 0
dp[d][k][1] = -prices[d]
continue
}
dp[d][k][0] = maxOf(dp[d - 1][k][0], dp[d - 1][k][1] + prices[d])
dp[d][k][1] = maxOf(dp[d - 1][k][1], dp[d - 1][k - 1][0] - prices[d])
}
}
return dp[days - 1][kk][0]
}
}
//leetcode submit region end(Prohibit modification and deletion)
}
解析：
大家都知道动态规划要创建dp数组，dp数组的维度取决于状态的个数，状态的个数取决于操作（或者说选择），哪些操作会导致不同的结果
这个题目，天数、买入、卖出、买入卖出次数会影响最终的结果
天数：是伴随着股票涨跌的
买入卖出、买入卖出次数这个不必多说
题目给出，k为最大交易次数，也就是说 买入卖出次数最大为k，这个也是动态规划问题最难理解的
这里我们通常的做法是：将 k 所在的每种情况都遍历一遍
如果 k = 0，则不允许交易，则无论何时利润都是 0
如果 k = 1，则只允许一次交易
注意注意！！！接下来是关键！！！
如果 k = 2，那么 答案就只有 两种情况（最多交易 2 次，最多交易 1 次）
如果你对这个 k 感觉到疑惑，请继续往下看，我会在状态转移方程讲解一个关于时间线的点
如果 k = 3，那么 答案就只有以下种情况
- 3 次交易都被使用
- 只进行 2 次交易
- 只进行 1 次交易
- 不交易
所以我们只要 对比 以上情况的最大利润 就行了
而2，3 就是 k = 0，k = 1 的情况
此时假设我们已经给您算出来了交易一次的最大利润
那么，交易 2 次的最大利润 = 交易 1 次的最大利润 + 再进行 1 次交易
而题目是 不允许 同时进行多笔交易 的，所以我们要将 天数 这个变量计算进去
所以就变成了
交易 2 次的最大利润 = 第 i 天交易 1 次最大利润 + 第 j 天再进行 1 次交易
然后
交易 3 次的最大利润 = 第 ii 天交易 2 次最大利润 + 第 jj 天再进行 1 次交易
我们再添加上手持股票的状态，就变成了状态转移方程
状态转移方程
// 手里不持有股票的情况
dp[d][k][0] = maxOf(dp[d - 1][k][0], dp[d - 1][k][1] + prices[d])
// 手里持有股票的情况
dp[d][k][1] = maxOf(dp[d - 1][k][1], dp[d - 1][k - 1][0] - prices[d])
我规定，第一个参数是天数，第二个代表交易次数上限，第三个代表当前是否持有股票（0代表当前不持有股票，1代表持有股票）
举个例子：
dp[3][2][1] 的含义就是：在最多限制2次交易的情况下，第三天手里持有股票
也就是，在一个时间线里，k 也就是dp的第二个下标是不变的
而dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
之所以会有k-1，是因为k-1 是另一个时间线的，并不指的是k会随着天数不断下降
现在解释方程
// 手里不持有股票的情况
dp[d][k][0] = maxOf(dp[d - 1][k][0], dp[d - 1][k][1] + prices[d])
交易上限为 k 的时候，第 d 天，并且手里不持有股票的时候，这个时候，要么是昨天也这样，不买不卖，要么是昨天卖出了，所以prices[d]就是卖出所获，也就是昨天的股票价格
// 手里持有股票的情况
dp[d][k][1] = maxOf(dp[d - 1][k][1], dp[d - 1][k - 1][0] - prices[d])
交易上限为 k 的时候，第 d 天，并且手里持有股票，这个时候，要么是昨天也这样，手里持有股票，要么是昨天刚买的，
那么为什么有k-1呢？？？
因为dp[d][k][1]手里持有股票，所以要保证至少手里还剩1次，所以就等效了另一个时间线上的，当交易上限为k-1的时候，第d-1天，并且手里不持有股票的情况。
到这里，应该就可以完美解释你心中对 k 的疑惑了
其他的倒没什么问题
就是一些特殊情况
dp[d][0][0] = 0
dp[d][0][1] = 不合法 // k=0 的时候，不可能持有股票
dp[d][1][0] = max(dp[d-1][1][0], dp[d-1][0][1]+prices[d])
= max(dp[d-1][1][0], 不合法)
dp[d][1][1] = max(dp[d-1][1][1], dp[d-1][0][0]-prices[d])
= max(dp[d-1][1][1], -prices[d])
dp[0][k][0] = max(dp[-1][k][0], dp[-1][k-1][1]+prices[d])
= 0
dp[0][k][1] = max(dp[-1][k][1], dp[-1][k][0]-prices[d])
= -prices[d]
总结
动态规划 一定要多练，光看别人的思路是很难从根本上提高自己的
