day43 ● 1049. 最后一块石头的重量 II ● 494. 目标和 ● 474.一和零一、题目描述最后

一、题目描述

最后一块石头的重量 II

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。每组选出两块石头，一组是 $x$ ，一组是 $y$ ，假设 $x\leq y$ ，则重量为 $(y-x)$ 的石头会留下来。现在从这堆石头中选出一些石头使得留下来的石头的总重量最小，求最小的总重量。

目标和

给定一个整数数组 $nums$ 和一个整数 $target$ ，在数组中找出能够凑成 $target$ 的元素组合，其中每个元素都可以被选或者不选，问有多少种不同的组合方式。

一和零

给定 $m$ 个 $0$ 和 $n$ 个 $1$ ，现在从中选出若干个数字，使得选出的数字中 $0$ 的个数为 $k$ ， $1$ 的个数为 $l$ ，求最多可以选出多少个数字。

二、解题思路

最后一块石头的重量 II

这道题可以转化为一个背包问题。假设集合 $S$ 中所有石头的重量和为 $sum$ ，则可以将这些石头分成两组 $A$ 和 $B$ ，满足 $A$ 中的石头的重量和尽可能接近 $\frac{sum}{2}$ ，即 $\sum_{a\in A}a\approx\frac{sum}{2}$ 。由于 $A$ 和 $B$ 的石头的重量和之和为 $sum$ ，因此 $B$ 中石头的重量和尽可能接近 $\frac{sum}{2}$ 。所以问题转化为求在重量和不超过 $\frac{sum}{2}$ 的情况下，选出的石头的重量和最大。

使用 0-1 背包算法即可解决，时间复杂度为 $O(n\sum)$ ，其中 $n$ 为石头的数量， $\sum$ 为所有石头的重量和。

目标和

将这个问题转化为一个背包问题。假设集合 $S$ 中所有数字的和为 $sum$ ，则可以将这些数字分成两组 $A$ 和 $B$ ，满足 $A$ 中的数字的和为 $target$ ，即 $\sum_{a\in A}a=target$ 。由于 $A$ 和 $B$ 的数字的和之和为 $sum$ ，因此 $B$ 中数字的和为 $sum-target$ 。所以问题转化为在 $S$ 中选出若干个数字，使得这些数字的和为 $sum-target$ 。

使用 0-1 背包算法即可解决，时间复杂度为 $O(n\sum)$ ，其中 $n$ 为数字的数量， $\sum$ 为所有数字的和。

一和零

将这个问题转化为一个背包问题。假设集合 $S$ 中所有数字的个数为 $n$ ，其中 $0$ 的个数为 $m_0$ ， $1$ 的个数为 $m_1$ ，则可以将这些数字分成两组 $A$ 和 $B$ ，满足 $A$ 中的数字中 $0$ 的个数为 $k$ ， $1$ 的个数为 $l$ ，即 $\sum_{a\in A}a_0=k,\sum_{a\in A}a_1=l$ 。由于 $A$ 和 $B$ 的数字个数之和为 $n$ ，因此 $B$ 中数字的个数为 $m_0-k$ 和 $m_1-l$ 。所以问题转化为在 $S$ 中选出若干个数字，使得 $A$ 中数字中 $0$ 的个数为 $k$ ， $1$ 的个数为 $l$ 。

使用多维 01 背包算法即可解决，时间复杂度为 $O(nm_0m_1)$ ，其中 $n$ 为数字的数量， $m_0$ 和 $m_1$ 分别为 $0$ 和 $1$ 的数量。

三、代码实现

最后一块石头的重量 II

public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
    int sum = 0;
    for (int stone : stones) {
        sum += stone;
    }
    int capacity = sum / 2;
    int[] dp = new int[capacity + 1];
    for (int stone : stones) {
        for (int j = capacity; j >= stone; j--) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stone] + stone);
        }
    }
    return sum - 2 * dp[capacity];
}

目标和

public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    if (sum < target || (sum + target) % 2 != 0) {
        return 0;
    }
    int capacity = (sum + target) / 2;
    int[] dp = new int[capacity + 1];
    dp[0] = 1;
    for (int num : nums) {
        for (int j = capacity; j >= num; j--) {
            dp[j] += dp[j - num];
        }
    }
    return dp[capacity];
}

一和零

public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    for (String str : strs) {
        int count0 = 0, count1 = 0;
        for (char ch : str.toCharArray()) {
            if (ch == '0') {
                count0++;
            } else {
                count1++;
            }
        }
        for (int i = m; i >= count0; i--) {
            for (int j = n; j >= count1; j--) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - count0][j - count1] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

四、总结

动态规划问题的解法往往可以转化为背包问题，通过定义状态和状态转移方程，使用 0-1 背包或多维 01 背包算法求解。在实际应用中，需要注意时间和空间复杂度的问题，可以通过优化算法和数据结构来提高效率。