二叉树有五种形态
- 空树
- 只有根节点
- 只有左子树
- 只有右子树
- 左右子树都有
二叉树的定义
二叉树是一种树形结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树的特性
- 二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。
- 深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。
- 对于任意一棵二叉树，如果其叶节点数为N0，而度数为2的节点总数为N2，则N0=N2+1。
二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点的推导过程
- 当i=1时，第一层只有一个根节点，即2^(1-1)=1个节点，结论成立。
- 假设当i=k时，第k层最多有2^(k-1)个节点，即左右子树都满二叉树。
- 当i=k+1时，第k+1层的节点是第k层节点的左右子树，而第k层最多有2^(k-1)个节点，所以第k+1层最多有2^(k-1)个左子节点和2^(k-1)个右子节点，即2^(k-1)+2^(k-1)=2^k个节点。
- 综上所述，二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。
深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点的推导过程
- 当k=1时，深度为1的二叉树只有一个根节点，即2^1-1=1个节点，结论成立。
- 假设当k=m时，深度为m的二叉树最多有2^m-1个节点。
- 当k=m+1时，深度为m+1的二叉树的节点是深度为m的二叉树的左右子树，而深度为m的二叉树最多有2^m-1个节点，所以深度为m+1的二叉树最多有2^(m+1)-1个节点。
- 综上所述，深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。
对于任意一棵二叉树，如果其叶节点数为N0，而度数为2的节点总数为N2，则N0=N2+1,的推导过程
- 对于一棵二叉树，其所有节点的度数之和等于2的节点数乘以2，即∑(所有节点的度数)=2*N2。
- 对于一棵二叉树，其所有节点的度数之和等于所有节点的子节点数加1，即∑(所有节点的度数)=N0+N1+N22=2N0-1+N2*2。
- 将上述两个式子相等，得到2N2=2N0-1+N2*2，即N0=N2+1。
- 综上所述，对于任意一棵二叉树，其叶节点数为N0，而度数为2的节点总数为N2，则N0=N2+1。
什么是完全二叉树
完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层外，每一层的节点数都达到最大值，最后一层的节点都靠左排列。 完全二叉树的特性
- 深度为k的完全二叉树，其节点数最多为2^(k+1)-1，最少为2^k。
- 对于深度为k的完全二叉树，其第k层的节点数为2^(k-1)个，其余各层节点数均为最大值，即2^(k-1)个。
- 若设深度为k的完全二叉树的节点数为n，则其任意节点：
- 若为非叶节点，则其左右子节点编号分别为2i和2i+1；
- 若为叶节点，则其编号为n-(2^k-1)至n之间，其中i为该叶节点在该层中的序号（序号从左往右，从1开始）。
