1.问题描述
你和你的朋友，两个人一起玩 Nim 游戏：
- 桌子上有一堆石头。
- 你们轮流进行自己的回合， 你作为先手 。
- 每一回合，轮到的人拿掉 1 - 3 块石头。
- 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。
假设你们每一步都是最优解。请编写一个函数，来判断你是否可以在给定石头数量为 n 的情况下赢得游戏。如果可以赢，返回 true；否则，返回 false 。
示例1
输入：n = 4
输出：false
解释：以下是可能的结果:
1. 移除1颗石头。你的朋友移走了3块石头，包括最后一块。你的朋友赢了。
2. 移除2个石子。你的朋友移走2块石头，包括最后一块。你的朋友赢了。
3.你移走3颗石子。你的朋友移走了最后一块石头。你的朋友赢了。
在所有结果中，你的朋友是赢家。
示例2
输入：n = 1
输出：true
示例3
输入：n = 2
输出：true
提示：
1 <= n <= 231 - 1
2.记忆化搜索（超出内存限制）
在关注自己的时候，一定要关注对方。因为双方是都足够聪明。像本题，每个人每次都可以拿1-3块石头，因此就需要判断拿了1-3块石头，剩下的石头让对方做先手是否会输，但凡有一种情况会输，自己都会赢【因此需要把这三种情况都需要搜索一下】。
class Solution {
public boolean canWinNim(int n) {
// 包装类存在null这个状态，用null表示当前i的状态还没有被计算出来。
Boolean[] memo = new Boolean[n];
return dfs(n, memo);
}
boolean dfs(int n, Boolean[] memo) {
// 小于等于3，最后拿的人一定会赢
if(n <= 3) return true;
boolean flag = false;
if(memo[n] != null) return memo[n];
// 有3种选择，只要有一种方案让对方输掉，自己就可以赢
for(int i = 1; i <= 3; i++) {
if(!dfs(n - i, memo)) {
flag = true;
break;
}
}
memo[n] = flag;
return flag;
}
}
3.动态规划（超出内存限制）
普通的暴力递归有重复情况，因此可以用缓存做进一步优化【记忆化搜索】，而动态规划在遍历过程中就没有重复的情况，因此时间复杂度会小不少。其实改动态规划就是消重的过程。有可变参数代表得暴力递归就可以改成动态规划。此题无非就是将记忆化搜索改成动态规划，如何改呢？分为以下几个步骤
- 确定
dp[i]的含义：一共i块石头，先手拿的话是否可以赢。 dfs操作只有一个可变参数，因此需要一维DP就可以了，即这张表能够把所有暴力递归出现的情况都能包含在里面- 上面
dfs过程中的n是不断变化的，因此下面我们将n替换成i - 我们可以将
dfs循环拆分成if(!dfs(i - 1, memo) || !dfs(i - 2, memo) || !dfs(i - 3, memo))，改成dp的话，直接将其拿过来，改成dp数组就可以了，即if(!dp[i - 1] || !dp[i - 2] || !dp[i - 3]) - 由上面转移过来的
dp可得，dp[i]依赖于前面的结果，因此我们要从左到右进行遍历 - 根据
n <= 3，先后拿一定会赢。因此，直接拿过来确定好dp[1~3]=true
class Solution {
public boolean canWinNim(int n) {
return dpWay(n);
}
boolean dpWay(int n) {
if(n <= 3) return true;
Boolean[] dp = new Boolean[n + 1];
dp[1] = true;
dp[2] = true;
dp[3] = true;
for(int i = 4; i <= n; i++) {
// 当拿了i石头，另一个人上一次拿的，只要有一个方案失败了，自己就是可以赢的
dp[i] = !dp[i - 1] || !dp[i - 2] || !dp[i - 3];
}
return dp[n];
}
}
4.找规律
我们可以这么理解，假设如果确保后手赢得话，无论如何都能配成4个，所以能够保证石头个数能被4整除，后手就能赢。而我们要求先手赢，取个反就可以了。
class Solution {
public boolean canWinNim(int n) {
// 假设如果是后手的话，无论如何都能配成4个，所以保证能够被4整除，后手就能赢，否则先手赢
return (n % 4) != 0;
}
}
