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把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。

给你一个可能存在 重复 元素值的数组 numbers ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了一次旋转。请返回旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一次旋转，该数组的最小值为 1。  

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

示例 1：

输入：numbers = [3,4,5,1,2] 输出：1 示例 2：

输入：numbers = [2,2,2,0,1] 输出：0  

提示：

n == numbers.length 1 <= n <= 5000 -5000 <= numbers[i] <= 5000 numbers 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

解题思路：

如下图所示，寻找旋转数组的最小元素即为寻找右排序数组 的首个元素 nums[x] ，称 x 为 旋转点 。

算法流程：

正确性证明：

补充思考： 为什么本题二分法不用 nums[m] 和 nums[i] 作比较？

复杂度分析：

代码：

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        int i = 0, j = numbers.length - 1;
        while (i < j) {
            int mid = (i + j) / 2;
            if (numbers[mid] > numbers[j]) {
                i = mid + 1;
            } else if (numbers[mid] < numbers[j]) {
                j = mid;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return numbers[i];
    }
}

实际上，当出现 nums[m]=nums[j] 时，一定有区间 [i,m] 内所有元素相等 或 区间 [m,j] 内所有元素相等（或两者皆满足）。对于寻找此类数组的最小值问题，可直接放弃二分查找，而使用线性查找替代。

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        int i = 0, j = numbers.length - 1;
        while (i < j) {
            int m = (i + j) / 2;
            if (numbers[m] > numbers[j]) i = m + 1;
            else if (numbers[m] < numbers[j]) j = m;
            else {
                int x = i;
                for(int k = i + 1; k < j; k++) {
                    if(numbers[k] < numbers[x]) x = k;
                }
                return numbers[x];
            }
        }
        return numbers[i];
    }
}