总结存疑：

1. 交叉验证法
2. K邻近为什么不用距离加权？

k近邻法（k-nearest neighbor，k-NN）是一种基本分类与回归方法。

k近邻法的输入为实例的特征向量，对应于特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。

k近邻法假设给定一个训练数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。

因此，k近邻法不具有显式的学习过程。k近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分，并作为其分类的“模型”。k值的选择、距离度量及分类决策规则是k近邻法的三个基本要素。

1. K近邻算法

k近邻算法简单、直观：给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分为这个类。

2. K近邻模型

k近邻法使用的模型实际上对应于对特征空间的划分。模型由三个基本要素——距离度量、k值的选择和分类决策规则决定。

2.1 模型

k近邻法中，当训练集、距离度量（如欧氏距离）、k值及分类决策规则（如多数表决）确定后，对于任何一个新的输入实例，它所属的类唯一地确定。这相当于根据上述要素将特征空间划分为一些子空间，确定子空间里的每个点所属的类。

特征空间中，对每个训练实例点$x_i$，距离该点比其他点更近的所有点组成一个区域，叫作单元（cell）。每个训练实例点拥有一个单元，所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最近邻法将实例$x_i$的类$y_i$作为其单元中所有点的类标记（class label）。这样，每个单元的实例点的类别是确定的。

2.2 距离度量

特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映。 k近邻模型的特征空间一般是n维实数向量空间$R^n$。使用的距离是欧氏距离，但也可以是其他距离，如更一般的Lp距离（Lpdistance）或Minkowski距离（Minkowski distance）。

2.3 K值的选择

k值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响。

如果选择较小的k值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差（approximation error）会减小，只有与输入实例较近的（相似的）训练实例才会对预测结果起作用。

但缺点是“学习”的估计误差（estimation error）会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果邻近的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。换句话说，k值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。

如果选择较大的k值，就相当于用较大邻域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时与输入实例较远的（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。k值的增大就意味着整体的模型变得简单。

如果k=N，那么无论输入实例是什么，都将简单地预测它属于在训练实例中最多的类。这时，模型过于简单，完全忽略训练实例中的大量有用信息，是不可取的。

在应用中，k值一般取一个比较小的数值。通常采用交叉验证法来选取最优的k值。

2.4 分类决策规则

k近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的k个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类。

3. K近邻法的视线：kd树

实现k近邻法时，主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。这点在特征空间的维数大及训练数据容量大时尤其必要。

k近邻法最简单的实现方法是线性扫描（linear scan）。这时要计算输入实例与每一个训练实例的距离。当训练集很大时，计算非常耗时，这种方法是不可行的。

为了提高k近邻搜索的效率，可以考虑使用特殊的结构存储训练数据，以减少计算距离的次数。kd树便是一种方法。

3.1 构造kd树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分（partition）。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域。

构造kd树的方法如下：构造根结点，使根结点对应于k维空间中包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断地对k维空间进行切分，生成子结点。在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域（子结点）；这时，实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。【不理解可以看下面的算法】

通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数（median）为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

算法3.2（构造平衡kd树）

假设有一个集合(2,3)，(5,4)，(9,6)，(4,7)，(8,1)，(7,2)，构造的kd树为：

构建根节点，根节点对应于包含T的k维空间的超矩形区域。选择x轴，6个数据点的x坐标的中位数是7，以平面x=7将空间分为左、右两个子矩形（子结点）；接着，左矩形以y=4分为两个子矩形，右矩形以y=6分为两个子矩形，如此递归，最后得到如图3.3所示的特征空间划分和如图3.4所示的kd树。

3.2 搜索kd树

利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索，从而减少搜索的计算量。

给定一个目标点，搜索其最近邻。首先找到包含目标点的叶结点；然后从该叶结点出发，依次回退到父结点；不断查找与目标点最邻近的结点，当确定不可能存在更近的结点时终止。这样搜索就被限制在空间的局部区域上，效率大为提高。

包含目标点的叶结点对应包含目标点的最小超矩形区域。以此叶结点的实例点作为当前最近点。目标点的最近邻一定在以目标点为中心并通过当前最近点的超球体的内部。然后返回当前结点的父结点，如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体相交，那么在相交的区域内寻找与目标点更近的实例点。如果存在这样的点，将此点作为新的当前最近点。算法转到更上一级的父结点，继续上述过程。如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体不相交，或不存在比当前最近点更近的点，则停止搜索。

算法3.3（用kd树的最近邻搜索）

1. 在kd树中找出包含目标点x的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问kd树。若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子结点，否则移动到右子结点。直到子结点为叶结点为止。
2. 以此叶结点为“当前最近点”。
3. 递归地向上回退，在每个结点进行以下操作：

• 如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近，则以该实例点为“当前最近点”。
• 前最近点一定存在于该结点一个子结点对应的区域。检查该子结点的父结点的另一子结点对应的区域是否有更近的点。具体地，检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与“当前最近点”间的距离为半径的超球体相交。如果相交，可能在另一个子结点对应的区域内存在距目标点更近的点，移动到另一个子结点。接着，递归地进行最近邻搜索；如果不相交，向上回退。

4. 当回退到根结点时，搜索结束。最后的“当前最近点”即为x的最近邻点。

如果实例点是随机分布的，kd树搜索的平均计算复杂度是O（logN），这里N是训练实例数。kd树更适用于训练实例数远大于空间维数时的k近邻搜索。当空间维数接近训练实例数时，它的效率会迅速下降，几乎接近线性扫描。

例子：

通过二叉搜索，顺着搜索路径很快就能找到最邻近的叶子节（2,3）。

首先假设（2,3）为“当前最近邻点”。最邻近点肯定位于以查询点为圆心且通过叶子节点的圆域内。为了找到真正的最近邻，还需要进行“回溯”操作：算法沿搜索路径反向查找是否有距离查询点更近的数据点。此例中是由点（2,3）回溯到其父节点（5,4），并判断在该父节点的其他子节点空间中是否有距离查询点更近的数据点，发现该圆并不和超平面y = 4交割，因此不用进入（5,4）节点右子空间中去搜索。

再回溯到（7,2），以（2,3）为圆心，以0.1414为半径的圆更不会与x = 7超平面交割，因此不用进入（7,2）右子空间进行查找。

至此，搜索路径中的节点已经全部回溯完，结束整个搜索，返回最近邻点（2,3），最近距离为0.1414。