因果推断学习笔记.2: Rubin Causal Model (RCM)

JKRD
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因果推断的常用方法。

承接上文

推断因果关系：试问某种处理/因素/变量，对于个体的状态有没有影响（因果作用）？

Rubin Causal Model (RCM)

  • 设ZiZ_i表示个体ii接受处理与否（处理取1，对照取0）；YiY_i表示个体ii的结果变量。另外记二元组(Yi(1),Yi(0))(Y_i(1),Y_i(0))表示个体ii接受处理或对照的潜在结果(potential outcome)。那么Yi(1)−Yi(0)Y_i(1)-Y_i(0)表示个体ii接受处理的个体因果作用。
  • 然而问题在于，每个个体要么接受处理，要么作为对照，因此在一次观测中(Yi(1),Yi(0))(Y_i(1),Y_i(0))必然缺失一半，因此个体的因果作用是不可识别的（注意，这里不允许前一个时刻对照、后一个时刻处理）。从概率的角度看，ii可以看成样本空间Ω\Omega中的样本点ω\omega。但是在**ZZ**做随机化的前提下，我们可以识别总体的平均因果作用(Average Casual Effect, ACE):
ACE(Z→Y)=E(Yi(1)−Yi(0)).ACE(Z\to Y)=E(Y_i(1)-Y_i(0)).

这是因为

ACE(Z→Y)=E(Yi(1))−E(Yi(0))#对单个个体的全体结果变量求期望=E(Yi(1)∣Zi=1)−E(Yi(0)∣Zi=0)#随机化，即Z⊥(Y(1),Y(0))=E(Yi∣Zi=1)−E(Yi∣Zi=0)#表明ACE可以由观测数据估计出来\begin{aligned} ACE(Z\to Y)&=E(Y_i(1))-E(Y_i(0)) &\#\text{对单个个体的全体结果变量求期望}\\ &= E(Y_i(1)|Z_i=1)-E(Y_i(0)|Z_i=0) &\#\text{随机化，即}Z\perp(Y(1),Y(0))\\ &= E(Y_i|Z_i=1)-E(Y_i|Z_i=0) &\#\text{表明ACE可以由观测数据估计出来}\\ \end{aligned}

注：这里ii是固定的，期望的取法是将YiY_i视作随机变量，对YiY_i取条件期望

  • 上述推导表明，随机化试验对于平均因果作用的识别起着至关重要的作用。

观测性研究：可忽略性、倾向得分与回归分析

  • 上一节的结论表明随机化试验对于平均因果作用的识别非常重要。然而在现实中，很多研究都是无法进行随机化试验的的（对同一个体的随机化）。在观测性研究中，通常能搜集到以下数据：个体的信息变量XX（如年龄、性别）、个体是否接受处理ZZ（如是否吃某种新药、是否吸烟等）、个体的结果变量YY（如康复情况、肺部清洁程度等）。那么，我们可以用如下条件期望之差去估计ACEACE吗？
E(Y∣Z=1)−E(Y∣Z=0)E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0)
  • 答案是：不能。反面教材：辛普森悖论（Yule-Simpson Paradox）
  • 这就引出一个ACEACE的识别性问题，即通过观测数据我们能否得到ACE的相合估计。实际中，这需要一个不可验证的假定：可忽略性。

可忽略性&ACE的识别性

  • 可忽略行假定：Z⊥(Y(1),Y(0))Z\perp(Y(1),Y(0))。即上文公式中的“随机化”。
  • 这是一条不可验证的假定，它的存在使得我们可以通过观测数据识别ACEACE。然而，在观测性研究中，个体选择处理与否（ZZ）与其个体属性可能相关（注意，本质上，(Y(1),Y(0))(Y(1),Y(0))也是个体属性的一部分！），上面的假定可能被破坏。但通常的方法是，收集充分多的个体信息XX，使得如下的强可忽略性假定成立：
Z⊥(Y(1),Y(0))⊥XZ\perp(Y(1),Y(0))\perp X

可以证明，此时的ACEACE是可以识别的，因为

ACE=E(Y(1))−E(Y(0))#对全体个体的全体结果变量求期望=E[E(Y(1)∣X)]−E[E(Y(0)∣X)]#全期望公式=E[E(Y(1)∣X,Z=1)]−E[E(Y(0)∣X,Z=0)]=E[E(Y∣X,Z=1)]−E[E(Y∣X,Z=0)]\begin{aligned} ACE &= E(Y(1))-E(Y(0)) &\#\text{对全体个体的全体结果变量求期望}\\ &= E[E(Y(1)|X)] - E[E(Y(0)|X)] &\#\text{全期望公式} \\ &= E[E(Y(1)|X,Z=1)] - E[E(Y(0)|X,Z=0)] \\ &= E[E(Y|X,Z=1)] - E[E(Y|X,Z=0)] \\ \end{aligned}
  • 在上述推导中，通过全期望公式引入个体信息变量XX的权重，解决了辛普森悖论的问题。接下来的问题是，如何通过上述条件期望计算ACEACE。目前有三种方法：

倾向得分（propensity score） 线性回归（linear regression） Heckman Selection Model（又称Tobit Model）

参考文献

  1. 丁鹏.因果推断简介.PKU-MATH-00112230.2019

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