最长不下降子序列（LIS）

DP解法

设 dp[i] 表示以 A[i] 结尾的 LIS 的长度，则有状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j])+1, 0≤j<i,A[j]<A[i]

其中，0≤j<i,A[j]<A[i] 表示在 A[0:i-1] 中寻找比 A[i] 小的元素。

时间复杂度为 O(n^2)。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int dp(vector<int>& nums) {
    int len = nums.size(), ans = 0;
    vector<int> vec(len, 1);
    for (int i = 1; i < len; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (nums[i] >= nums[j]) {
                vec[i] = max(vec[i], vec[j] + 1);
                ans = max(ans, vec[i]);
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
    cout << dp(nums) << endl;
    return 0;
}

二分查找优化

我们可以维护一个数组 d[k]，表示长度为 k 的 LIS 的最后一个元素的最小值。对于每个新元素 A[i]，如果它大于当前所有的 d[k]，则将其追加到 d 数组末尾；否则，在 d 数组中二分查找第一个大于等于 A[i] 的元素位置 j，并更新 d[j]=A[i]。

遍历完 A 数组后，d 数组的长度就是 LIS 的长度。

时间复杂度为 O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int lis(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    vector<int> d{nums[0]};
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (nums[i] >= d.back()) {
            d.push_back(nums[i]);
        } else {
            int l = 0, r = d.size() - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + (r - l) / 2;
                if (d[mid] >= nums[i]) {
                    r = mid;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
            d[l] = nums[i];
        }
    }
    return d.size();
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
    cout << lis(nums) << endl;
    return 0;
}