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一、实验目的

网格形变，是指交互式地改变网格。网格形变的目的是用户约束一些区域保持不变，同时预先定义一个位移区域，剩余无约束的点所在区域，需要通过算法计算决定，常见的算法分为Surface-based deformation和Space deformation，算法要求计算高效，变形结果符合直觉，保留局部细节。常见于游戏动画中编辑人物，如下图。

二、实验内容

本实验分为两个子实验，双调和形变和as rigid as possible（ARAP）形变。双调和形变是一种基于laplacian的形变，也就是计算每个顶点的laplacian坐标，然后找到新的坐标来匹配目标laplacian坐标，最后最小化一个能量函数得到每个顶点的新坐标。 ARAP形变算法首先定义网格顶点与1-邻域的边构成刚性变形单元，所有点的变形单元重叠地覆盖网格表面。变形过程中假设变形单元仅仅发生旋转变换，形式化的表示如下式和可视化形变如下所示，变形单元的刚性变换使得网格顶点相对于1-邻域顶点的位置保持不变，从而有效地保持了模型局部的细节。

$P_{i}^{\prime}-P_{j}^{\prime}=R_{i}\left(p_{i}-p_{j}\right), \forall j \in \mathrm{N}(i)$ 其中 $N(i)$ 表示 $p_i$ 的1邻域点的索引，而 $p_j$ 和 $p_j^′$ 分别表示 $p_i$ 和 $p_i^′$ 的1邻域顶点， $R_i$ 表示最优旋转矩阵。

三、实验步骤

点个star：github.com/Bailey-24/G…

3.1 Bi-harmonic deformation

3.1.1 补全 biharmonic_precompute.cpp 文件

功能需求：给定网格(V,F)和对选中的顶点V的索引b，预计算求解双调和形变所需的数据，也就是输出应该是一个使用igl::min_quad_with_fixed采用的data结构体的预分解系统。

步骤：1) 构建质量矩阵M和余切拉普拉斯矩阵L；

构建双拉普拉斯矩阵 $Q=L^T M^{-1} L$ ；
预计算双调和形变所需的data结构体，里面有科列斯基分解矩阵等。

3.1.2 补全 biharmonic_solve.cpp 文件

功能需求：给定预计算的data和每个控制顶点的位移列表，最小化能量函数 $\min _{\mathbf{D}_{\mathrm{u}}} \operatorname{tr}\left(\mathbf{D}_{\mathrm{u}}^{\top} \mathbf{Q}_{\mathrm{u}, \mathrm{u}} \mathbf{D}_{\mathrm{u}}+2 \mathbf{D}_{\mathrm{u}}^{\top} \mathbf{Q}_{\mathrm{u}, \mathrm{h}} \mathbf{D}_{\mathrm{h}}\right)$ ，确定网格中所有顶点的位移。其中 $\mathbf{D}_\mathrm{h}$ 是控制顶点已知的位移， $\mathbf{D}_\mathrm{u}$ 是剩余顶点未知的位移， $\mathbf{Q}_{\mathrm{u}, \mathrm{u}}$ 是未知位移对应的二次系数矩阵。步骤：首先构建求解二元优化问题所需的向量，然后最小化能量函数得到剩余顶点的位移。

3.2 As rigid as possible

3.1.1 补全 arap_precompute.cpp 文件

功能需求：预计算所需数据，以便高效地对ARAP形变进行局部-整体迭代。这包括输出igl::min_quad_with_fixed用于求解全局步骤的data结构体，以及构建未知顶点旋转和位置的双线性矩阵K，它用来准备局部步骤的协方差矩阵和全局步骤的线性项。步骤：1）构建余切拉普拉斯矩阵矩阵； 2）预计算ARAP算法所需的data结构体； 3）通过下式构建矩阵K。首先对所有的面进行遍历，然后遍历在这个面上的边，得到当前边上的顶点的索引，接着对边上的每个顶点的旋转进行遍历，最后将变形前后的边权重的差值组成矩阵K，也就是K的每个元素是 $K_{i 3 k+\beta}+=\tilde{e}_{i j}^{\beta}, K_{j 3 k+\beta}+=-\tilde{e}_{i j}^{\beta}$ 。

$\frac{1}{6} \sum_{f=1}^{m} \sum_{i j \in E(f)} \sum_{k \mid i j \in F(k)} \sum_{\alpha=1}^{3} \sum_{\beta=1}^{3}\left(v_{i}^{\alpha}-v_{j}^{\alpha}\right) R_{k}^{\alpha \beta} \tilde{e}_{i j}^{\beta} \text {, }$

3.1.2 补全 arap_single_iteration.cpp 文件

功能需求：给定预计算的数据（data和K），每个控制顶点的位置，和所有顶点U的当前位置，进行局部-全局求解的单次迭代，以最小化ARAP能量，输出网格中所有顶点的位置U。

步骤：1）进行局部优化：固定顶点位置，求解最优旋转矩阵R。首先通过下式构建协方差矩阵C，然后为每个区域的加权协方差矩阵 $C_k$ 计算最接近的旋转矩阵 $R_k$ 。

$\operatorname{tr}(\underbrace{\mathbf{V}^{\top} \mathbf{K}}_{\mathbf{C}^{\top}} \mathbf{R})$

2）进行全局优化：固定旋转矩阵，求解使能量函数最小的变形后的顶点位置。 $\min _{\mathbf{V}} \operatorname{tr}\left(\mathbf{V}^{\top} \mathbf{L} \mathbf{V}\right)+\operatorname{tr}\left(\mathbf{V}^{\top} \mathbf{B}\right)$ 其中 $KR=B$ 是旋转顶点梯度的矩阵。

3）返回1），直到能量误差小于用户指定的阈值为止。

3.3 结果与验证

ARAP比双调和形变更好，因为在骑士走路时，虽然只控制右脚，但是左脚后跟也会跟着上提，就很真实，而双调和形变没有上提，所以ARAP比双调和形变更能保持局部细节。

四、总结分析

做了两个子实验，基于拉普拉斯的双调和形变和ARAP算法形变。双调和形变通过给定每个控制顶点的位移，求出剩余顶点的位移，适用于小变形，但没有旋转不变形，所以局部细节有可能丢失。ARAP通过局部-全局优化的方法，最小化能量函数，求解最优旋转矩阵和变形后的顶点坐标，做到在保持局部细节的情况下去编辑模型的大体形态，而且易于实现，计算量较小，并且保证会收敛。

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【传统图形学算法】游戏角色动画变形的基础Surface-based deformation和Space deformation