每日涮法记录--图拓扑排序（课程表）

million的老父亲
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本文已参与「新人创作礼」活动， 一起开启掘金创作之路。

今天回顾了一下数据结构当中的图，于是上leetcode刷了一波相关题型。记录这道经典课程表题
题目： 现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前 必须 先选修 bi 。- 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1]  返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。 加上几个事例+提示 image.png

生活的例子

  • 先穿内裤再穿裤子，先穿打底再穿外套，先穿衣服再戴帽子，约定俗成
  • 内裤外穿、光着身子戴帽等，都会有点奇怪
  • 约束我们的一条条 先后规则，能否转成一串顺序行为——衣服是一件件穿的

引入有向图 描述依赖关系

  • 示例：n = 6，先决条件表：[ [3, 0], [3, 1], [4, 1], [4, 2], [5, 3], [5, 4] ]
  • 0, 1, 2 没有先修课，可以直接选。其余的，都要先修 2 门课
  • 我们用 有向图 描述这种 依赖关系 (做事的先后关系)： 微信截图_20200517052852.png
  • 把这样一个 有向无环图 变成 线性的排序 就叫 拓扑排序
  • 有向图 中有 入度 和 出度 概念：
    • 如果存在一条有向边 A --> B，则这条边给 A 增加了 1 个出度，给 B 增加了 1 个入度
  • 所以顶点 0、1、2 的 入度为 0。 顶点 3、4、5 的 入度为 2

每次只能选你能上的课

  • 每次只能选 入度为 0 的课，因为它不依赖别的课
  • 假设选了 0，导致 依赖 0 的课的入度减小，课 3 的入度由 2 变 1
  • 接着选 1，导致课 3 的入度变 0，课 4 的入度由 2 变 1
  • 接着选 2，导致课 4 的入度变 0，当前 3 和 4 入度为 0
  • 继续选 入度为 0 的课 …… 直到选不到 入度为 0 的课

形似 树的BFS

  • 起初让 入度为 0 的课 入列
  • 然后逐个出列，课出列 即 课被选 ，并 减小相关课的入度
  • 判定是否有课的入度新变为 0，安排入列、再出列……
  • 直到没有 入度为 0 的课 可入列……

BFS 前的准备工作

  • 我们关心 课的入度 —— 该值要被减，要被监控
  • 我们关心 课之间的依赖关系 —— 选这门课会减小哪些课的入度
  • 因此我们需要合适的数据结构，去存储这些关系

入度数组 和 邻接表

  • 课号是 0 到 n - 1，作为索引，值为入度。遍历先决条件表，求出每门课的初始入度
  • 用哈希表记录 依赖关系 （也可以用 邻接矩阵 ，但它有点大）
    • key： 课的编号
    • value： 依赖它的后续课程

BFS 思路

  • queue 队列中始终是【入度为 0 的课】在里面流动
  • 选择一门课，就让它 出列，同时 查看哈希表，看它 对应哪些后续课
  • 将这些后续课的 入度 - 1，如果有 减至 0 的，就将它 推入 queue
  • 不再有新的入度 0 的课入列 时，此时 queue 为空，退出循环
**实现代码**： 
var findOrder = (numCourses, prerequisites) => {
    let inDegree = new Array(numCourses).fill(0) // 初始化入度数组
    let graph = {} // 哈希表
    for (let i = 0; i < prerequisites.length; i++) {
      inDegree[prerequisites[i][0]]++ // 构建入度数组
      if (graph[prerequisites[i][1]]) { // 构建哈希表
        graph[prerequisites[i][1]].push(prerequisites[i][0])
      } else {
        let list = []
        list.push(prerequisites[i][0])
        graph[prerequisites[i][1]] = list
      }
    }
    let res = [] // 结果数组
    let queue = [] // 存放 入度为0的课
    for (let i = 0; i < numCourses; i++) { // 起初推入所有入度为0的课
      if (inDegree[i] === 0) queue.push(i)
    }
    while (queue.length) { // 没有了入度为0的课，没课可选，结束循环
      let cur = queue.shift() // 出栈，代表选这门课
      res.push(cur) // 推入结果数组
      let toEnQueue = graph[cur] // 查看哈希表，获取对应的后续课程
      if (toEnQueue && toEnQueue.length) { // 确保有后续课程
        for (let i = 0; i < toEnQueue.length; i++) { // 遍历后续课程
          inDegree[toEnQueue[i]]-- // 将后续课程的入度 -1
          if (inDegree[toEnQueue[i]] == 0) { // 一旦减到0，让该课入列
            queue.push(toEnQueue[i])
          }
        }
      }
    }
    return res.length === numCourses ? res : [] // 选齐了就返回res，否则返回[]
  };

总结

  • 解决拓扑排序问题

    1. 根据依赖关系，构建邻接表、和入度数组
    2. 选取入度为 0 的数据，根据邻接表，减小依赖它的数据的入度
    3. 找出新入度为 0 的数据，重复第 2 步
    4. 直至所有数据的入度为 0，得到排序，如果还有数据的入度没有变到 0，说明存在环形依赖

  • 和 传统BFS 不一样的地方

    • 传统BFS：把出列节点的下一层子节点推入 queue，不加甄别
    • 拓扑排序：实施甄别和监控，新入度为 0 的先推入 queue
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