题目来源：AcWing 240. 食物链

题目描述

动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。

$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。

现有 $N$ 个动物，以 $1∼N$ 编号。

每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 $N$ 个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

第二种说法是 2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$。

此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。

当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

1. 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
2. 当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；
3. 当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。

你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。

输入格式

第一行是两个整数 $N$ 和 $K$ ，以一个空格分隔。

以下 $K$ 行每行是三个正整数 $D，X，Y$ 两数之间用一个空格隔开，其中 $D$ 表示说法的种类。

若 $D=1$，则表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

若 $D=2$，则表示 $X$ 吃 $Y$。

输出格式

只有一个整数，表示假话的数目。

数据范围

• $1≤N≤50000$
• $0≤K≤100000$

输入样例

100 7
1 101 1 
2 1 2
2 2 3 
2 3 3 
1 1 3 
2 3 1 
1 5 5

输出样例

3

解题思路

本题共有3种动物，分别为$A, B, C$。三者的关系是$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$，如下图所示。

输入的说法有两种，分别表示$X$ 和 $Y$ 是同类或 $X$ 吃 $Y$。先考虑说法均为$X$ 吃 $Y$的情况。基于该情况可以得到一个树状的食物链。如下图所示。

其中，不同的数字表示$A, B, C$中的一种动物。在上图中，根据$A, B, C$三种动物之间的捕食关系，若1吃2，2吃4，则4一定能够吃1。在图中，4也能够吃5。1与5均能被4吃，因此1与5属于同一类动物。同理，2与3也属于同一类动物。

观察上图中的树，不难发现，在该树状食物链中，每三层为一组，组内同一层的数字表示同一种动物。因此，可以将根节点作为基准（根节点为第0层），规定动物的种类。设根节点为动物$A$，$l$为当前节点到根节点的距离，则当$(0 + l) \% 3 = 0$时，当前节点为动物$A$。同理，当$(0 + l) \% 3 = 1$时，当前节点为动物$B$；当$(0 + l) \% 3 = 2$时，当前节点为动物$C$。由同余定理，可以得到$l$的数值与$A, B, C$三种动物的转换关系。

为了保证这一点，在并查集更新时需要维护一个数组$d$，该数组表示当前节点到根节点的距离$l$。

根据上述的思路已经能够完成同一个集合中，动物关系的判断。接下来处理两个动物不在同一个集合中的情况。

如上图所示，当两个动物2与4不属于同一集合时，我们需要对两个集合进行合并，此时会新增一条红色的边。如何确定红色边的权值dpx使得增加红色边后动物之间的捕食关系符合预期？

• 2与4为同类时，应满足$(dx+dpx)\%3=dy\%3$，此时，$dpx=(dy-dx)\%3$;
• 2吃4时，应满足$(dx+dpx)\%3=（dy+1）\%3$，此时，$dpx=(dy-dx+1)\%3$;

参考代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;
int n, k, p[N], d[N];

int find(int x) {
    if(x != p[x]) {
        int root = find(p[x]);
        d[x] += d[p[x]];
        p[x] = root;
    }
    return p[x];
}

int main() {
    cin>>n>>k;
    for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    int res = 0;
    while(k--) {
        int t, x, y;
        cin>>t>>x>>y;
        int px = find(x), py = find(y);
        if(x > n || y > n) res += 1; //满足情况2
        else {
            if(t == 1) {
                if(px == py && (d[y] - d[x]) % 3) res += 1; //xy在同一集合
                else if(px != py) { //xy在不同集合
                    p[px] = py;
                    d[px] = (d[y] - d[x]) % 3;
                }
            } else {
                if(px == py && (d[y] - d[x] + 1) % 3) res += 1;
                else if(px != py) {
                    p[px] = py;
                    d[px] = (d[y] - d[x] + 1) % 3;
                }
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}