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41.（13 分）已知非空二叉树 T 的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下：

typeof struct{  //MAX_SIZE 为已定义常量

    int SqBiTNode[MAX_SIZE]; //保存二叉树节点值的数值

    int ElemNum;//实际占用的数组元素个数

}SqBiTree;

T中不存在的结点在数组SqBiTNode中用−1 表示。例如，对于下图所示的两棵非空二叉树T1

和T2，

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T1 的存储结果如下：

T1.SqBiTNode

T1.ElemNum=10

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T2 的存储结果如下：

T2.SqBiTNode

T2.ElemNum=11

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请设计一个尽可能高效的算法，判定一颗采用这种方式存储的二叉树是否为二叉搜索树，若

是，则返回true,否则，返回false.要求：

• 给出算法的基本设计思想。
• 根据设计思想，采用?或 C++语言描述算法，关键之处给出注释。

【解析】

（1）利用二叉搜索树的性质的推论：中序遍历为单调递增序列。

void inorder(SqBiTree T, int i, int *a, int *j)
{
    if (i >= T.ELemNum || T.SqBiTNode[i] == -1)
    { // 越界或者为空
        结点
        return;
    }
    inorder(T, 2 * i + 1, a, j);
    a[(*j)++] = T.SqBiTNode[i];
    inorder(T, 2 * i + 2, a, j);
}
bool isValidBST(SqBiTree T)
{
    int *a = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    int j = 0;
    inorder(T, 0, a, &j);
    for (int k = 0; k < j - 1; k++)
    {
        if (a[k] >= a[k + 1])
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

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42.（10 分）现有n(n > 100000)个数保存在一维数M中，需要在找M中最小的 10 个数。

请回答下列问题。

(1)设计一个完成上述查找任务的算法，要求平均情况下的比较次数尽可能少，简述其算

法思想（不要程序实现） (2)说明你所设计的算法平均情况下的时间复杂度和空间复杂度

【解析】

(1)先用 A[1: 10] 建立大顶堆 B[1: 10]（注意：这里不能用小顶堆），遍历A[11: n]，每个元

素A[i]逐一和堆顶元素比较，其中 11 ≤ i ≤ n，如果 A[i] 大于等于堆顶元素 B[1]，不进行任

何操作，如果该元素小于堆顶元素 B[1]，那么就删除堆顶元素，将该元素放入堆顶，即

令 B[1] = A[i]，然后将 B[1: 10] 重新调整为大顶堆。最后堆 B[1: 10] 中留存的元素即为最小的 10 个数。

(2)时间复杂度： O(n) ，由于堆大小为常量，所以建堆，维护堆的代价为 O(1) ，仅需要

遍历一遍数组，该算法时间复杂度为 O(n) 。

空间复杂度： O(1) ，该算法用了大小为 10 的堆的辅助数组，该算法的空间复杂度为 O(1)