石子合并（31-38）

开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第 31 天，点击查看活动详情

题目描述

设有 $N$ 堆石子排成一排，其编号为 $1,2,3,…,N。$

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 $N$ 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 $4$ 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 $1、2$ 堆，代价为 $4$，得到 4 5 2， 又合并 $1、2$ 堆，代价为 $9$，得到 9 2 ，再合并得到 $11$，总代价为 $4+9+11=24$；

如果第二步是先合并 $2、3$ 堆，则代价为 $7$，得到 4 7，最后一次合并代价为 $11$，总代价为 $4+7+11=22$。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 $N$ 表示石子的堆数 $N$。

第二行 $N$ 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1≤N≤300$

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

题目分析

本题为区间DP的一个题目。

定义 $f[i][j]$ 表示合并区间 $i\sim j$ 的最小代价。

首先为了方便提取某段区间的石子数目，我们采用前缀和的方式对石子排列进行统计。

我们知道，对于每段区间而言，最后一次合并都为区间左端的一段连续数列与区间右端的一段连续数列。于是，我们由最后一次合并开始，可以连续分割每段区间的石子堆数目直至每个区间的大小都为 $1$。

对于区间DP的动态规划，我们采取从小到大枚举区间长度和区间分割界限所处的位置的方法，最终依次扩大区间长度便可以得到 $f[0][n]$ 的答案。

具体实现见代码。

Accept代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 310;

int n;
int s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &s[i]), s[i] += s[i - 1];
    
    for (int len = 2; len <= n; len ++)    // 枚举子区间长度
    {
        for (int j = 1; j + len - 1 <= n; j ++)
        {
            int l = j, r = j + len - 1;
            f[l][r] = 1e7;
            for (int k = l; k < r; k ++)    // 枚举区间分割点
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }
    }
    
    cout << f[1][n];
    return 0;
}