积木画（31-32）

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题目描述

小明最近迷上了积木画，有这么两种类型的积木，分别为 I 型（大小为 22 个单位面积）和 L 型（大小为 33 个单位面积）：

同时，小明有一块面积大小为 $2×N$ 的画布，画布由 $2×N$ 个 $1×1$ 区域构成。

小明需要用以上两种积木将画布拼满，他想知道总共有多少种不同的方式？

积木可以任意旋转，且画布的方向固定。

输入格式

输入一个整数 $N$，表示画布大小。

输出格式

输出一个整数表示答案。

由于答案可能很大，所以输出其对 1000000007 取模后的值。

数据范围

$1≤N≤10^7$。

输入样例：

3

输出样例：

5

样例解释

五种情况如下图所示，颜色只是为了标识不同的积木：

题目分析

本题参考思路来自 Amonologue的题解。

由于本题行数为2，状态转移的方案并不多，所以可以采取线性DP的思想枚举。

定义 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 列被填满，且向 $i+1$ 列伸出的状态所占据方格的数目为 $j$ 的方案数。

此处的状态以二进制表示，可知可以为 00，01，10，11 四种，分别对应 $j$ 为 0,1,1,2。

当 j=0 时可知第 $i$ 列可为一个竖条或由第 $i-1$ 列伸出的两个横条，即 f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][2] 。

当 j=1 时可知第 $i$ 列可为沿 $x$ 轴翻转的两种 $\rm L$ 或由第 $i-1$ 列伸出的一个方格再加上第 $i$ 列的一个横条。

当 j=2 时可知第 $i$ 列为开始放置的两个横条或由第 $i-1$ 列伸出的一个方格再加上第 $i$ 列的一个 $\rm L$。

初始化第一层的状态，最终复杂度为 $O(n)$。

Accept代码 $O(n)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod = 1000000007;

int n;
long long f[2][3];    // f[i][j] 表示前 i 列已经填满且对地 i+1 列的方块伸出数量

int main()
{
    cin >> n;
    
    f[1][0] = 1;
    f[1][1] = 2;
    f[1][2] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        f[i & 1][0] = (f[i - 1 & 1][0] + f[i - 1 & 1][2]) % mod;
        f[i & 1][1] = (f[i - 1 & 1][0] * 2 + f[i - 1 & 1][1]) % mod;
        f[i & 1][2] = (f[i - 1 & 1][0] + f[i - 1 & 1][1]) % mod;
    }
    cout << f[n & 1][0];
    return 0;
}