最长公共子序列（31-36）

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题目描述

给定两个长度分别为 $N$ 和 $M$ 的字符串 $A$ 和 $B$，求既是 $A$ 的子序列又是 $B$ 的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

第二行包含一个长度为 $N$ 的字符串，表示字符串 $A$。

第三行包含一个长度为 $M$ 的字符串，表示字符串 $B$。

字符串均由小写字母构成。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

$1≤N,M≤1000$

输入样例：

4 5
acbd
abedc

输出样例：

3

题目分析

在进行DP刷题的后期过程中，发现对以往的知识出现缺漏，特来此温故。

本题为线性DP的一种，题意很简单，即求两字符串的最长公共子序列。

定义 $f[i][j]$ 表示字符串 $a$ 中前 $i$ 个位置和字符串 $b$ 中前 $j$ 个位置的最长公共子序列的长度。

分别对于 $a[i],\; b[j]$是否为 $f[i][j]$ 做出贡献分类讨论。

若 $a[i],\; b[j]$ 均不在 $f[i][j]$ 表示的最长公共子序列中，转移方程为 f[i][j] = f[i-1][j-1]。

若 $a[i]$ 在而 $b[j]$ 不在 $f[i][j]$ 表示的最长公共子序列中，转移方程为 f[i][j] = f[i][j-1],此时或许有一些疑问，$f[i][j-1]$ 表示的是字符串 $a$ 前 $i$ 个位置和字符串 $b$ 中前 $j$ 个位置的最长公共子序列的长度，而当前假设肯定了 $a[i]$ 一定位于 $f[i][j-1]$ 表示的字符串中，而 $b[j]$ 一定不位于 $f[i][j-1]$ 表示的字符串中，这两种情况并不相等。但我们依旧可以如此表示，因为当前情况一定包含于 $f[i][j-1]$ 中，即保证了不漏情况，我们需要的属性为最大值，重复情况不会干扰判断。

若 $a[i]$ 不在而 $b[j]$ 在 $f[i][j]$ 表示的最长公共子序列中，转移方程为 f[i][j] = f[i-1][j]，解释原理同上。

若 $a[i],\; b[j]$ 均在 $f[i][j]$ 表示的最长公共子序列中，转移方程为 f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1。

最终取几种方案的最大值即可。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    a = ' ' + a, b = ' ' + b;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
        }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}