注意：
- 关系代数有关符号，大家可能又不熟悉了，点击跳转：（数据库系统概论|王珊）第二章关系数据库-第四节：关系代数
在（数据库系统概论|王珊）第九章关系查询处理和关系优化-第一节：查询处理中讲到过：SQL语句经过查询分析，查询检查后变换为查询树，它是关系代数表达式的内部表示。本节介绍查询优化之代数优化，它是基于关系代数等价变换规则的优化方法
- 两个关系表达式和是等价的，可以记为
一：关系代数表达式等价变换规则
- 为了能方便阅读，就没用截图。手都麻了🤮（动动手点个赞吧🥳）
（1）连接、笛卡尔积、并、交的交换律
笛卡尔积
并
交
连接
R\bowtie S \equiv S\bowtie R$$
## （2）连接、笛卡尔积、并、交的结合律
**笛卡尔积**
$$(R×S) ×T\equiv R×(S×T)$$
**并**
$$(R \cup S)\cup T \equiv R \cup (S\cup T)$$
**交**
$$(R \cap S)\cap T \equiv R \cap (S\cap T)$$
**连接**
$$(R \underset{F}{\bowtie} S) \underset{F}{\bowtie} T \equiv R \underset{F}{\bowtie} (S \underset{F}{\bowtie} T) $$
$$(R\bowtie S) \bowtie T \equiv R\bowtie (S \bowtie T)$$
## （3）投影的串接定律
**关系的两次投影操作可以合并为一次完成（反过来就是分解）**
$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\Pi_{B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E)) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E)$$
- $E$是关系代数表达式
- $A_{i}(i=1,2,..,n)，B_{j}(j=1,2,..,m)$是属性名。并且$\{ {A_{1},A_{2},...,A_{n}} \}$构成$\{ {B_{1},B_{2},...,B_{m}} \}$的子集
## （4）选择的串接定律
**选择的两次投影操作可以合并为一次完成（反过来就是分解）**
$$\sigma_{F1}(\sigma_{F2}(E)) \equiv \sigma_{F1\land F2}(E)$$
## （5）选择与投影的交换律
$$\sigma_{F}(\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E)) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\sigma_{F}(E))$$
- **假设**：选择条件$F$只涉及属性${A_{1},A_{2},...,A_{n}}$
$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\sigma_{F}(E)) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\sigma_{F}( \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n},B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E)))$$
- **假设**：$F$中有不属于${A_{1},A_{2},...,A_{n}}$的属性${B_{1},B_{2},...,B_{m}}$
## （6）选择与笛卡尔积的交换律
对于$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2})$，有如下等价
①
$$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1})×E_{2}$$
- **假设**：**选择条件只与其中的一个关系有关，应该对那个关系先做选择，然后再做笛卡尔积**。例如上面$F$中涉及的属性都是$E_{1}$中的属性
②
$$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2}) \equiv \sigma_{F_{1}}(E_{1})×\sigma_{F_{2}}(E_{2})$$
- **假设**：**选择条件与两个关系都有关，应该先分别做选择，然后再做笛卡尔积**。例如上面$F=F_{1} \land F_{2}$，并且$F_{1}$中只涉及$E_{1}$中的属性，$F_{2}$中只涉及$E_{2}$中的属性
③
$$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2}) \equiv \sigma_{F_{2}}(\sigma_{F_{1}}(E_{1})×E_{2})$$
- **假设：如果选择条件与某一部分关系有关，那么也应该先对那个关系做部分选择，然后做笛卡尔积，最后做选择**。例如上面$F=F_{1} \land F_{2}$，并且$F_{1}$中只涉及$E_{1}$中的属性，$F_{2}$中涉及$E_{1}$和$E_{2}$中的属性
## （7）选择与并的分配律
$$\sigma(E_{1} \cup E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1}) \cup \sigma_{F}(E_{2})$$
- **假设**：$E=E_{1} \cup E_{2}$，$E_{1}$和$E_{2}$有相同的属性名
## （8）选择与差运算的分配律
$$\sigma(E_{1} - E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1}) - \sigma_{F}(E_{2})$$
## （9）选择对自然连接的分配律
$$\sigma_{F}(E_{1} \bowtie E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1}) \bowtie \sigma_{F}(E_{2})$$
- $F$只涉及$E_{1}$和$E_{2}$的**公共属性**
## （10）投影与笛卡尔积的分配律
$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n},B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E_{1}×E_{2}) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{1}) × \Pi_{B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E_{2})$$
- $A_{1},A_{2},...,A_{n}$是$E_{1}$的属性
- $B_{1},B_{2},...,B_{m}$是$E_{2}$的属性
## （11）投影与并的分配律
$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{1} \cup E_{2}) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{1}) \cup \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{2})$$
# 二：查询树的启发式优化
- 这是对关系代数表示的查询树进行优化的方法
## （1）典型的启发式规则
**典型的启发式规则**
- **【规则1】选择运算应尽可能先做**：这是为了**减少中间结果的规模**
- **【规则2】投影和选择运算同时进行**：这是为了**避免重复扫描**
- **【规则3】将投影运算与其前后的双目运算结合起来**：这是为了**避免重复扫描**
- **【规则4】把某些选择运算和其前面的笛卡尔积结合起来成为一个连接运算**：这是为了**减少中间结果的规模**
- **【规则5】提取公共子表达式（公因子）**：这是为了**保存计算结果，避免重复计算**
## （2）实现算法
- **该算在遵循启发式规则，并应用关系代数表达式等价变换规则来优化关系表达式**
- **该算法的输入和输出都是查询树（分别对应待优化和优化的关系表达式）**
**算法步骤**
- **【步骤1】分解选择运算**：这是为了**便于不同的选择运算沿树的不同分枝向树叶移动，一直移动到与这个选择条件相关的关系处，使选择尽可能先做**。$\sigma_{F_{1} \land F_{2} \land ... \land F_{n}} (E)\Rightarrow \sigma_{F_{1}}(\sigma_{F_{2}}(...(\sigma_{F_{n}}(E))...))$
- **【步骤2】通过交换选择运算，将每个选择运算尽可能移动到叶端**：利用**规则4~9**尽可能把选择移动到树的叶端
- **【步骤3】通过交换投影运算，将每个投影运算尽可能移动到叶端**：利用**规则3、11、10、5**尽可能把投影移动到树的叶端
- **【步骤4】合并选择和投影的串接**：利用**规则3~5把选择和投影的串接合并成单个选择、单个投影或一个选择后面跟一个投影**。这是为了**使多个选择或投影能同时进行，或在一次扫描中全部完成**
- **【步骤5】对内结点分组**：每一**双目运算**（$×$、$\bowtie$、$\cup$、$-$）和它**所有的直接祖先的一元运算结点**（$\sigma$或$\Pi$）分为一组（如果其**后代直到叶子全是单目运算**，则也将他们并入该组）；注意当双目运算是**笛卡尔积**（$×$），而且**其后的选择不能与它结合为等值连接**时，则**不能**将选择与这个$×$并为一组
## （3）实例演示
- 注意这是一个很重要的考点
【例】如下给出了一个SQL语句
```sql
SELECT Student.Sname FROM Student,SC
WHERE Student.Sno=SC.Sno AND SC.Sno='2';
```
**将SQL语句转为关系代数表达式**
- 先对`Student`和`SC`做笛卡尔积
- 再对中间结果做选择（条件为 `Student.Sno=SC.Sno`）
- 再对中间结果做选择（条件为`SC.Sno='2'`）
- 最后投影
**结果为**
$$\Pi_{Sname}(\sigma_{Student.Sno=sc.Cno \land sc.cno=2}(student × sc))$$
**将关系代数表达式转为查询树**
**查询树优化**
①**首先选择条件尽可能下移**：
- `SC.Sno='2'`只和`SC`有关，所以它会沿着分支恰当的分支下移到`SC`的上方
- `Student.Sno=SC.Sno`同时涉及Student和SC，所以只能待在那里
**②：把选择和其之前的笛卡尔积合并为等值连接，或者干脆变为自然连接**
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【例】查询选修了数据库课程的女生学号与姓名，如下是SQL语句
```sql
SELECT Student.Sno,Sname FROM Student,SC,Course
WHERE Cname='datebase' AND Ssex='女';
```
**将SQL语句转为关系代数表达式**
$$\Pi_{Sno,Sname}(\sigma_{Cname='数据库' \land Ssex='女'}(SC \bowtie Course \bowtie Student))$$
**将关系代数表达式转为查询树**
**查询树优化**
**①：选择条件复杂，先分解选择条件**
**②：将选择运算尽可能移动到树的叶端**
**③：涉及了投影运算，所以也把它尽可能移动到树的叶端**
- 投影运算下移时要保留连接属性
**④：对内结点进行分组**
