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希尔排序 | shellSort

思想

希尔排序法，也称为缩小增量排序，是插入排序算法的改进版本。我们知道，插入排序法可以高速处理顺序较整齐的数据，而希尔排序法就是充分发挥这一特点

具体的，希尔排序算法记录如下：

• 把记录按下标的一定增量 g 进行分组，并对每组使用插入排序算法进行排序；
• 随着增量 g 逐渐减少，每组包含的数值会越来越多
• 当增量 g 减到 1 时，全部数据将被分为一组。此时再进行一次插入排序即可。

理解

这里的增量以及分组该如何理解？往下看：

• 假设现在我们需要通过希尔排序法将数组 nums 中的元素按升序的形式排列。
• nums = [2, 7, 9, 4, 5, 6, 3, 1]
• 通常的，我们会将增量 g 初始化为数组 nums 长度的一半，即 g = nums.size() / 2
• 因此，这里的 g 等于 4。
• 接着，我们根据增量 4 对数组进行分组（也就是将相隔距离为 4 的元素分为一组）。
• 因此在数组[2, 7, 9, 4, 5, 6, 3, 1] 中，2 和 5分为一组，7 和 6 分为一组，9 和 3 分为一组，4 和 1 分为一组。
• 对每一组分别进行插入排序，那么数组更新为：[2, 6, 3, 1, 5, 7, 9, 4]（比如 9 和 3 是一组，所以交换二者的位置）
• 当我们对每个组分别进行插入排序后，就可以来更新增量 g了
• 一般更新增量 g 的方式为 g /= 2;，因此此时的 g 为 2。
• 此时，我们根据增量 2 对数组进行分组。
• 因此在数组[2, 6, 3, 1, 5, 7, 9, 4] 中，2, 3, 5, 9分为一组，6, 1, 7, 4分为一组
• 对每一组分别进行插入排序，那么数组更新为：[2, 1, 3, 4, 5, 6, 9, 7]
• 现在的任务就是更新增量 g ，即 g /= 2;，所以 g 更新为 1。
• 将相隔距离为 1 的元素组成一组（其实就只有一组了）
• 用插入排序对该组进行排序，此时，排序已经结束了。

代码

void shellSort(int A[], int size) {
    int g, pos, j;  // g 为希尔增量，pos为待插入记录位置
    int tmp;
    for (g = size/2; g > 0; g /= 2){        
        for (pos = g; pos < size; pos++) {
         tmp = A[pos];
            for (j = pos - g; j >= 0 && A[j] > tmp; j -= g) 
                A[j+g] = A[j];  // 记录后移 
            A[j+g] = tmp;       // 将待插入记录放到合适位置
        }
    }
}

分析

要想完成数据排序就必须在最后指向 g = 1，使用插入排序法。（此时对象数据的顺序应该已经很整齐了）

另外，增量 g 的选择方法数不胜数，迄今为止人们已经对其进行了许多研究。这里记录另一个增量取值方式：当 $g_{n+1} = 3g^n + 1$ 时，算法的复杂度基本维持在 $O(N^{1.25})$