day54 求两个数的最大公约数(C++)题目描述：描述: 求两个数的最大公约数思路求整数a、b的最大公约数,顾名

题目描述：

描述: 求两个数的最大公约数

思路

求整数a、b的最大公约数,顾名思义,其实就是求同时满足a%c=0、b%c=0的最大正整数c,即求能够同时整除a和b的最大正整数c。
思路1:
- 若a、b均不为0，则依次遍历不大于a(或b)的所有正整数，依次试验它是否同时满足a%c=0 、b% c = 0两式，并在所有满足两式的正整数中挑选最大的那个即是所求;
- 若a、b其中有一个为0，那么最大公约数即为a、b中非零的那个;
- 若a、b均为0，则最大公约数不存在(任意数均可同时整除它们）。
评价:思路1该解法在大部分情况下要遍历不大于a(或b)的所有正整数，并依次测试它们是否满足条件，当a和b数值较大时（如10000000）该算法的时间复杂度较高，耗费的时间较多，往往不能在指定时间内得到结果
思路2: 欧几里得算法
- 若整数g为a、b(不同时为0)的公约数，则g满足：a=g*l,b=g*m(其中l、m为整数),同时a又可由b表示为:a=b*k+r(其中k为整数，r为a除以b后的余数)
- 对如上三式做如下变形:g*l=g*m*k+r ==> r=g*(l-m*k) (g≠0)
- 由上式可知，a、b的公约数g可以整除a除以b剩余的余数r(记为a mod b),即，a、b的公约数g同时也必是b、a mod b的公约数(因为满足既可以整除b又可以整除a mod b)
- 疑问:若g是a、b的最大公约数，它同样也是b、a mod b的最大公约数吗?
- 假设g是a、b的最大公约数，但它并不是b、amodb的最大公约数，即存在g'>g且g'同时整除b与a mod b,这样必存在整数I'与m'使下式成立:
  - $b=g'*m';r = a Mod b = g'*l';$
- 同时a、b、r之间满足下式：
  - $a=b*k+r;a=g'*m'*k+g'*l';a=g'*(m'*k+g'*');(g'≠0)$
- 如上式,g'同时也整除a与b,那么g'同时也是a、b的公约数
- 但b的最大公约数为g，而g'>g与假设不符，所以可证明a、b的最大公约数同时也是b、a mod b的最大公约数。
- 这样，我们把求a、b的最大公约数转换成了求b、amodb的最大公约数，那么问题不变而数据规模则明显变小，我们可以不断重复该过程，直到问题缩小成求某个非零数与零的最大公约数,该非零数即是所求。

具体实现:

#include <iostream>
using namespace std;
/*
 思路：（若 a、b 全为0则它们的最大公约数不存在，此处a、b不会同时为0）若 a、b 其中之一为0，则它们的最大公约数为 a、b 中非0的那个； a、b 都不为0，则使新 a = b，新 b = a % b ，然后重复该过程。
 这就是欧几里得算法。
 */
int main(int argc, const char * argv[]) {
    int dividend_1=0;
    int dividend_2=0;
    int temp=0;         // 临时变量保存dividend1
    while (cin>>dividend_1>>dividend_2) {    
        while (dividend_2>0) {        // dividend_2不为0时一直更新
            temp=dividend_1;
            dividend_1=dividend_2;
            dividend_2=temp%dividend_2;
        }
        cout<<dividend_1<<endl;    // dividend_2为0时dividend_1即是所求
    }
    return 0;
}

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