第12章 排序
此前各章已结合具体的数据结构，循序渐进地介绍过多种基本的排序算法：2.8节和3.5节分别针对向量和列表，统一以排序器的形式实现过起泡排序、归并排序、插入排序以及选择排序等算法；9.4.1节也曾按照散列的思路与手法，实现过桶排序算法；10.2.5节也曾完美地利用完全二叉堆的特长，实现过就地堆排序。
本章侧重于高级排序算法。与以上基本算法一样，其构思与技巧各具特色，在不同应用中的效率也各有千秋。。因此在学习过程中，唯有更多地关注不同算法之间细微且本质的差异，留意体会其优势与不足，方能做到运用自如，并结合实际问题的需要，合理取舍与并适当改造。
12.1 快速排序
12.1.1 分治策略
与归并算法一样，快速排序(quicksort)算法也是分治策略的典型应用，但二者之间有本质的区别：
- 归并排序的计算量主要消耗于有序子向量的归并操作，而子向量的划分却几乎不费时间。
- 快速排序恰好相反，它可以在O(1)时间内，由子问题的解直接得到原问题的解；但为了将原问题划分为两个子问题，却需要O(n)时间。
快速排序算法虽然能够确保，划分出来的子任务彼此独立，并且其规模总和保持渐进不变，却不能保证两个子任务的规模大体相当——实际上，甚至有可能极不平衡。因此，该算法并不能保证最坏情况下的O(nlogn)时间复杂度。尽管如此，它仍然受到人们的青睐，并在实际中往往成为首选的排序算法。究其原因在于：快速排序算法易于实现，代码结构紧凑简练，而且对于按通常规律随机分布的输入序列，快速排序算法实际的平均运行时间较之同类算法更少。
12.1.2 轴点
考查任一向量区间S[lo, hi)。对于任何lo < mi < hi，以元素S[mi]为界，都可分割出前后两个子向量S[lo, mi)和S(mi, hi)
若前一子向量元素均不大于S[mi]，后一子向量元素均不小于S[mi]，则元素S[mi]称作向量S的一个轴点(pivot)。
设向量S经排序可转化为有序向量S'。不难看出，轴点位置mi必然满足如下充要条件：
- S[mi] = S'[mi]
- S[lo, mi)和S'[lo, mi)的成员完全相同
- S(mi, hi)和S'(mi, hi)的成员完全相同
因此，不仅以轴点S[mi]为界，前后子向量的排序可各自独立地进行；一旦前后子向量各自完成排序，即可立即（在O(1)时间内）得到整个向量的排序结果。
采用分治策略，递归地利用轴点的以上特性，便可完成原向量的整体排序。
12.1.3 快速排序算法
quickSort_recursive
0001 template <typename T> //向量快速排序
0002 void Vector<T>::quickSort ( Rank lo, Rank hi ) { //0 <= lo < hi <= size
0003 if ( hi - lo < 2 ) return; //单元素区间自然有序，否则...
0004 Rank mi = partition ( lo, hi ); //在[lo, hi)内构造轴点
0005 quickSort ( lo, mi ); //对前缀递归排序
0006 quickSort ( mi + 1, hi ); //对后缀递归排序
0007 }
算法的核心与关键在于：轴点构造算法partition()应如何实现？可以达到多高的效率？
12.1.4 快速划分算法
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反例
首先遇到的困难就是：并非每个向量都必然有轴点。
一般地，只要向量中所有元素都是错位的——错排序列——则任何元素都不可能是轴点。（因为轴点在S和S'中的秩应当相同）
若保持原向量的次序不变，则不能保证总是能够找到轴点。唯有通过适当地调整向量中各元素的位置，方可“人为地”构造出一个轴点。
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思路
首先需要任取某一元素m作为“培养对象”，不妨取首元素m = S[lo]作为候选，将其从向量中取出并做备份，腾出的空闲单元便于其它元素的位置调整。
接下来，不断试图移动lo和hi，使之相互靠拢。整个移动过程中需保证lo左侧的元素均不大于m，hi右侧的元素均不小于m。
最后如图(c)所示，当lo和hi彼此重合时，只需将原备份的m回填至这一位置，则S[lo = hi] = m便成为一个名副其实的轴点。
以上过程在构造出轴点的同时，也按照相对于轴点的大小关系，将原向量划分为左右两个子向量，故亦称作快速划分算法(quick partitioning)。
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实现
0001 template <typename T> //轴点构造算法：通过调整元素位置构造区间[lo, hi)的轴点，并返回其秩 0002 Rank Vector<T>::partition ( Rank lo, Rank hi ) { //DUP版：可优化处理多个关键码雷同的退化情况 0003 swap ( _elem[lo], _elem[ lo + rand() % ( hi - lo ) ] ); //任选一个元素与首元素交换 0004 hi--; T pivot = _elem[lo]; //以首元素为候选轴点——经以上交换，等效于随机选取 0005 while ( lo < hi ) { //从向量的两端交替地向中间扫描 0006 while ( lo < hi ) 0007 if ( pivot < _elem[hi] ) //在大于pivot的前提下 0008 hi--; //向左拓展右端子向量 0009 else //直至遇到不大于pivot者 0010 { _elem[lo++] = _elem[hi]; break; } //将其归入左端子向量 0011 while ( lo < hi ) 0012 if ( _elem[lo] < pivot ) //在小于pivot的前提下 0013 lo++; //向右拓展左端子向量 0014 else //直至遇到不小于pivot者 0015 { _elem[hi--] = _elem[lo]; break; } //将其归入右端子向量 0016 } //assert: lo == hi 0017 _elem[lo] = pivot; //将备份的轴点记录置于前、后子向量之间 0018 return lo; //返回轴点的秩 0019 } -
过程
算法的主体框架为循环迭代；主循环的内部，通过两轮迭代交替地移动lo和hi。
要点：
- hi无法移动时，将_ elem[hi]转移至_elem[lo]，并归入左侧子向量。
- lo无法移动时，将_ elem[lo]转移至_elem[hi]，并归入右侧子向量。
- 算法迟早终止。
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实例
快速划分算法的一次完整运行过程如图12.5所示
由于lo和hi的移动方向相反，故原处于向量右（左）端较小（大）的元素将按颠倒的次序转移至左（右）端；特别地，重复的元素也将按颠倒的次序转移至相对的一端，因而不再保持其原有的相对次序。由此可见，如此实现的快速排序算法并不稳定。 从该例中也能看出这一点。
12.1.5 复杂度
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最坏情况
对partition()算法进行分析可发现，分治策略得以高效实现的两个必要条件——子问题划分的高效性及其相互之间的独立性——均可保证。然而，另一项关键的必要条件——子任务规模接近——在这里却无法保证。
最坏情况下，T(n) = O(n2)，效率低到与起泡排序相近。
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降低最坏情况概率
- 随机法：利用swap()，在区间内任选一个元素与_elem[lo]交换，效果等同于随机选择一个候选轴点。
- 三者取中法：从待排序向量中任取三个元素，将数值居中者作为候选轴点。如此选出的轴点在最终有序向量中秩过小或过大的概率更低——尽管还不能彻底杜绝最坏情况。
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平均运行时间
以上关于最坏情况下效率仅为O(n2)的结论不免令人沮丧，难道快排名不副实？
实际上，在大多数情况下，快速排序算法的平均效率依然可以达到O(nlogn)；且较之其他排序算法，其时间复杂度中的常系数更小。
计算可得，平均运行时间T(n) = O(1.386nlogn)
正因为其良好的平均性能，加上其形象直观和易于实现特点，快速排序算法自诞生起就一直受到人们的青睐，并被集成到Linux和STL等环境中。
12.1.6 应对退化
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重复元素
考查所有（或几乎所有）元素均重复的退化情况。对照代码12.2不难发现，partition()算法的版本A对此类输入的处理完全等效于此前所举的最坏情况。
如图12.6所示，如此划分的结果必然是以最左端元素为轴点，原向量被分为极不对称的两个子向量，且这一最坏情况还可能持续发生，从而使整个算法过程等效地退化为线性递归，递归深度为O(n)，导致总体运行时间高达O(n2)
当然，可以在每次深入递归之前做统一核验，若确属于退化情况，则无需继续递归而直接返回。但在重复元素不多时，如此不仅不能改进性能，反而会增加额外的计算量，总体权衡后得不偿失。
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改进
0001 template <typename T> //轴点构造算法：通过调整元素位置构造区间[lo, hi)的轴点，并返回其秩 0002 Rank Vector<T>::partition ( Rank lo, Rank hi ) { //DUP1版：与DUP版等价，类似于与LUG版等价的LUG1版 0003 swap ( _elem[lo], _elem[ lo + rand() % ( hi - lo ) ] ); //任选一个元素与首元素交换 0004 hi--; T pivot = _elem[lo]; //以首元素为候选轴点——经以上交换，等效于随机选取 0005 while ( lo < hi ) { //从向量的两端交替地向中间扫描 0006 while ( ( lo < hi ) && ( pivot < _elem[hi] ) ) //在大于pivot的前提下 0007 hi--; //向左拓展右端子向量 0008 if ( lo < hi ) _elem[lo++] = _elem[hi]; //不大于pivot者归入左端子向量 0009 while ( ( lo < hi ) && ( _elem[lo] < pivot ) ) //在小于pivot的前提下 0010 lo++; //向右拓展左端子向量 0011 if ( lo < hi ) _elem[hi--] = _elem[lo]; //不小于pivot者归入右端子向量 0012 } //assert: lo == hi 0013 _elem[lo] = pivot; //将备份的轴点记录置于前、后子向量之间 0014 return lo; //返回轴点的秩 0015 }较之版本A，版本B主要是调整了两个内循环的终止条件。以前一内循环为例，原条件
pivot <= _elem[hi]
在此更改为：
pivot < _elem[hi]
即：一旦遇到重复元素，右端子向量随即终止拓展，并将右端重复元素转移至左端。因此，若将版本A的策略归纳为“勤于拓展、懒于交换”，版本B的策略则是“懒于拓展、勤于交换”。
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效果及性能
对于由重复元素构成的输入向量，以上版本最终恰好将轴点置于正中央的位置。这就意味着，退化的输入向量能够始终被均衡的切分，如此反而转而最好情况，排序所需时间为O(nlogn)。
当然，以上改进并非没有代价。比如，单趟partition()算法需做更多的元素交换操作。好在这并不影响该算法的线性复杂度。另外，版本B倾向于反复交换重复的元素，故它们在原输入向量中的相对次序更难保持，快速排序算法的稳定性不足更是雪上加霜。
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