Floyd求最短路（28-28）DP刷题系列第二十八天第二十八题开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月

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Flody是求全源最短路的一种方法，复杂度为 $O(n^3)$ ，究其实现的本源，是一种动态规划的问题，本次分享以此为切入点来分析。

Flody求最短路

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$ ，表示查询从点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,k$ 。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x,y,z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。

接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x,y$ ，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。

输出格式

共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

$1≤n≤200$ ,
$1≤k≤n^2$ ,
$1≤m≤20000$ ,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例：

输出样例：

impossible
1

Acccept代码 $O(n^3)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, k;
int g[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (i != j) g[i][j] = INF;
            
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = min(g[a][b], c);
    }
    
    for (int k = 1; k <= n; k ++)
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            for (int j = 1; j <= n; j ++)
                g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);
                
    for (int i = 0; i < k; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        if (g[a][b] > INF / 2) cout << "impossible" << "\n";
        else cout << g[a][b] << "\n";
    }
    return 0;
}

题目分析

本题解题思想与上一题最短Hamilton距离一致，方案均为枚举所有中间点，更新起点到终点的最短路径。

主要观察中间的三重 for 循环，我们是否可以将 g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]) 改为 g[k][j] = min(g[k][j], g[k][i] + g[i][j]) 呢？

答案是否定的。

Flody本质是一个动态规划的算法，上述代码省略了其一维状态。

定义 $f[i][j][k]$ 表示在起点为 $i$ 终点为 $k$ ，中间路径只经过 $1\sim k$ 的所有路径的最小值。

在更新 $f[i][j][k]$ 之前，需要将前 $k-1$ 层的答案计算出来，所以需要以 $k$ 为变量放在第一层状态。

又可以通过优化去掉第一维，最终形成了上述代码。

Floyd求最短路（28-28）