最短Hamilton路径（27-27）DP刷题系列第二十七天第二十七题开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 ·

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最短Hamilton路径

给定一张 $n$ 个点的带权无向图，点从 $0∼n−1$ 标号，求起点 $0$ 到终点 $n−1$ 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 $0$ 到 $n−1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 $n$ 。

接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示点 $i$ 到 $j$ 的距离（记为 $a[i,j]$ ）。

对于任意的 $x,y,z$ ，数据保证 $a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]$ ，并且 $a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]$ 。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

$1≤n≤20$
$0≤a[i,j]≤10^7$

输入样例：

输出样例：

题目分析

这是一道状态压缩的题目，自我感觉具体方案和下节的flyod很相似。

我们假设起点为 sta，终点为 fin，中间路径中一点为 mid。

从动态规划的角度考虑，我们可以知道从 fin 到 mid 的所有路径中，我们不需要知道具体的路径以及最优路径，只需要记录最优路径对应的消耗。

定义 $f[i][j]$ 表示在状态 $i$ 以及当前终点为 $j$ 的情况下，路径消耗最小值。

此处的状态为一个二进制串，如 : 100101，表示在经过了点 0,2,5 的路径中，到达 j 的最小路径( j 为路径中三个点中的一个)。

欲得到 $f[i][fin]$ 的值，需要对 $i$ 中路径所有到达点作为 fin 的前一点 mid，以 $f[i][fin]=min(f[i][fin],\, f[i\oplus(1<<mid)][mid)]+g[mid][fin]$ 转移。

注意代码中的细节实现，本文进行了位运算的优化，最终时间复杂度为 $O(2^nn^2)$

Accept代码 $O(2^nn^2)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 21;

int n;
int g[N][N];
int f[1 << N][N];
int log_2[1 << N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            cin >> g[i][j];
            
    for (int i = 0; i < n; i ++) log_2[1 << i] = i;
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;
    for (int i = 1; i < 1 << n; i ++)
        if (i & 1)
        {
            for (int st = i; st; st &= st - 1)
            {
                int fin = st & (-st);
                for (int ts = i ^ fin; ts; ts &= ts - 1)
                {
                    int sta = ts & (-ts);
                    int ls = log_2[sta], lf = log_2[fin];
                    f[i][lf] = min(f[i][lf], f[i ^ fin][ls] + g[ls][lf]);
                }
            }
        }
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1];
    return 0;
}

最短Hamilton路径（27-27）