01 回溯算法理论基础

1、什么是回溯法：

实际上是一个类似穷举的搜索过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时就“回溯”，尝试其他路径，所以回溯法有“通用的解题法”之城。

2、用回溯法求解的问题种类：

（1）求一个或全部可行解；

（2）求最优解；

（3）棋盘问题：N皇后，解数独等等

（4）排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式

（5）组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合

（6）切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式

（7）子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集

3、算法设计的3个关键点：

（1）结点是如何扩展的，例如求幂集问题中，第i层结点的扩展方式就是选择ai和不选择ai两种，但是有些问题中结点扩展是很复杂的。

（2）在解空间树中按什么方式搜索，一种是采用深搜（DFS），回溯法就是这种方式，另一种是采用广搜（BFS）。

（3）解空间树通常是十分庞大的，如何高效的找到问题的解。

4、解空间树两种类型：

（1）当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。

（2）当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。

5、由于采用回溯法求解时存在退回到祖先结点的过程，需要保存搜索过的结点。

两种方法：

（1）用自定义栈来保存祖先结点；

（2）采用递归，将祖先结点保存到系统栈中，递归返回时自动回退到祖先结点；

6、回溯法搜索解空间时通常采用两种策略避免无效搜索：

（1）用约束函数在扩展结点处剪除不满足约束条件的路径；

（2）用限界函数剪去得不到问题解或是最优解的路径；

7、回溯法解题一般步骤：

（1）针对给定的问题确定问题的解空间树，问题的解空间树应至少包含问题的解或者最优解；

（2）确定结点的扩展搜索规则。

（3）以深度优先方式搜索解空间树，并在搜索过程中可以采用剪枝函数来避免无效搜索；

8、回溯法的两种定义：

（1）DFS + 剪枝；

（2）待回退的算法都是回溯算法；

9、回溯法模板：

（1）回溯函数模板返回值以及参数：

回溯算法中函数返回值一般为void。回溯函数伪代码：

void backtracking(参数)

（2）回溯函数终止条件： 一般来说搜到叶子结点，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。 回溯函数终止条件伪代码：

if(终止条件){
    存放结果;
    return;
}

（3）回溯搜索的遍历过程：

for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

回溯函数遍历过程伪代码：

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

（4）回溯算法模板框架：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}