蓝蓝计算机考研算法-day01判断素数和计算完全数开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第

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Day01 2023/02/27

难度：简单

题目1

从键盘输入一个整数，判断该数是否为素数（质数）。素数是指再大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

题目2

求解从2到20000的所有完全数，完全数是指它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。例如：28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。

示例1

输入: 3
输出: 3是素数

示例2

输入: 20000
输出: 6 2 8496 8128
说明: 输出了2~20000内的完全数

思路1

根据素数的定义可知，假设这个数是n，那么从2~(n-1)之间，任取一个数和n进行“n%该数”的操作，如果都不能整除的话，该数就为素数。
当然上述方法可以继续优化一下减少循环的次数，其实任何正整数的约数都是成对出现的，例如：12它的约数队分别是（1,12）(2,6) (3,4) ,所以我们只需要判断左边或者是右边的约数，是否满足素数的要求即可，左右队约数的分界线为自身的平方根。本题就采用这种优化过的方法。

思路2

这里求解完全数，最直接的方法就是暴力解法，根据完全数的定义，计算2~20000范围内每个数的真因子（即除了自身以外的约数）之和，如果等于本身，即该数就是完全数，接着输出它即可。
当然暴力解法的时间复杂度较高为 $O(n^2)$ ,这里我们介绍一种优化过时间复杂度的一种方法，使用欧拉公式计算完全数。
欧拉公式说明：

如果 $p$ 是质数，且 $2^p-1$ 也是质数，那么 $(2^p-1)*2^{p-1}$ 便是一个完全数。
例如 $p=2$ ，是一个质数， $2^p-1=3$ 也是质数，( $2^p-1)*2^{p-1}=3*2=6$ 是完全数。
例如 $p=3$ ，是一个质数， $2^p-1=7$ 也是质数，( $2^p-1)*2^{p-1}=7*4=28$ 是完全数。

关键点

第一个问题也是求解第二个问题的一部分及判断该数是否为素数（质数）

算法实现

c++代码实现-优化后的方法

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;

//问题一：判断是否为素数（质数）
bool is_prime(int p) {
    for (int i = 2; i <= sqrt(p); i++) //判断是否有除了1和自生的因数（约数）
        if (p % i == 0)
            return false;
    return true;
}

//问题二：求完全数
// 方法：欧拉公式
// 如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int p = 2; p <= n; p++) { //1肯定不是完全数
        int t = pow(2, p) - 1;
        if (is_prime(p) && is_prime(t)) { // 调用is_prime方法，判断是否满足欧拉方程的要求，计算完全数
            int perfect_num = pow(2, p - 1) * t;
            if (perfect_num <= n)
                cout << perfect_num << ' ';
            else
                break; //当大于n时就跳出循环，大大降低了循环次数
        }
    }
}

判断是否为素数：

时间复杂度 $O(m)$ ---循环m次，其中m为该数的平方根
空间复杂度 $O(1)$ ---都是常数级的辅助变量，除此没有额外的辅助空间

求完全数：

时间复杂度 $O(m*n)$ --- 判断是否为素数要，循环m次，其中m为该数的平方根，在此基础上，判断范围内的完全数，外层还有一个for循环，在最坏情况下循环n次，其中n为范围大小
空间复杂度 $O(1)$ ---都是常数级的辅助变量，除此没有额外的辅助空间

总结

这两题，都介绍了最常规的方法，和经过优化后的方法，如果实在不明白优化后的方法，也可以使用常规方法。