算法：前缀和—截断数组

3956. 截断数组 - AcWing题库

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a1,a2,…,an$。

现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。

要求，三个子数组内各元素之和都相等。

请问，共有多少种不同的截断方法？

题目解析

本题目的大意是说，有一个数组，长度为n，现在将这个数组分成三个部分，左中右，使得这三个部分的和都相等

思路

首先根据数据范围是$10^5$，算法的时间复杂度应为nlogn，直接进行暴力枚举，枚举第一个分割点和第二个分割点的位置的话 $tle$，所以，最多只能枚举一个分割点

我们假设枚举第二个分割点，设为j，由于要保证每个子数组都不为空，因此就要将j从第二个数开始枚举，j表示第二个区间的最后一个数，因此，答案就是将j从2枚举到n - 1（要保证最后一个区间也不空）的合法方案的总和，如下图（来源y总的讲解）；

假设第二个分割点在j的位置，此时j固定，第一个分割点要保证i前面的数等于数组总和的三分之一，而第二个分割点要保证j前面的数总和等于数组总和的三分之二

因此在 j 从前向后遍历的过程中，我们要记录第一个分割点假设 i 前面的总数的和等于 S / 3 的个数，我们用cnt来存，而总的方案数使用res来存，在第一个分割点合法个数是cnt的情况下，假设前 j 个数和等于 S / 3 * 2，那么就可以将cnt加到res中，这是这个j下对应的合法数，而后再继续判断下一个j

代码如下

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, s[N];    // s是前缀和数组

typedef long long LL;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        s[i] = s[i - 1] + x;    // 前缀和
    }
    
    LL cnt = 0, res = 0;
    if (s[n] % 3) puts("0");    // 如果总和不是3的倍数，必定不满足条件
    else
    {
        for (int j = 2; j < n; j++)
        {
            if (s[j - 1] == s[n] / 3) cnt++;    // 判断在当前j下，有多少个第一个分割点满足条件，在j每次向后扫描的过程中，只需要判断第s[j - 1]是否等于S / 3即可，因为前面的都在前面的循环中计算过了，合法的已经加入到了cnt中
            if (s[j] == s[n] / 3 * 2) res += cnt;    // 在判断一下第二个分割点是否满足条件，如果满足，那么在当前的j下，cnt个第一个分割点都满足情况，都可以加入到res中
        }
        
        cout << res << endl;
    }
    
    
    
    return 0;
}

另外，由于int的数据范围最大到2 x $10^9$，所以需要开long long

求前缀和代码

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];

🆗，第一次博客到此结束！