8.3 红黑树
平衡二叉搜索树的形式多样，且各具特色。
比如，8.1节的伸展树实现简便、无需修改节点结构、分摊复杂度低，但可惜最坏情况下的单次操作需要Ω(n)时间，故难以适用于核电站、医院等对可靠性和稳定性要求极高的场合。
反之，7.4节的AVL树尽管可以保证最坏情况下的单次操作速度，但需在节点中嵌入平衡因子等标识；更重要的是，删除操作之后的重平衡可能需做多达Ω(logn)次旋转，从而频繁地导致全树整体拓扑结构的大幅度变化。
红黑树即是针对后一不足的改进。通过为节点指定颜色，并巧妙地动态调整。
红黑树可保证：
在每次插入或删除操作之后的重平衡过程中，全树拓扑结构的更新仅涉及常数个节点。尽管最坏情况下需对多达Ω(logn)个节点重染色，但就分摊意义而言仅为O(1)个。
当然，为此首先需在AVL树“适度平衡”标准的基础上，进一步放宽条件。实际上，红黑树所采用的“适度平衡”标准，可大致表述为：任一节点左、右子树的高度，相差不得超过两倍。
8.3.1 概述
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定义与条件
由红、黑两色节点组成的二叉搜索树若满足以下条件，即为红黑树（red-black tree）：
(1) 树根始终为黑色
(2) 外部节点均为黑色
(3) 其余节点若为红色，则其孩子节点必为黑色
(4) 从任一外部节点到根节点的沿途，黑节点的数目相等
分析：
条件(1)和(2)意味着红节点均为内部节点，且其父节点及左、右孩子必然存在。
条件(3)意味着红节点之父必为黑色，因此树中任一通路都不含相邻的红节点。
由此可知，在从根节点通往任一节点的沿途，黑节点都不少于红节点。
除去根节点本身，沿途所经黑节点的总数称作该节点的黑深度（black depth） ——根节点的黑深度为0，其余依此类推。故条件(4)亦可等效地理解和描述为“所有外部节点的黑深度统一”。
由条件(4)可进一步推知，在从任一节点通往其任一后代外部节点的沿途，黑节点的总数亦必相等。除去（黑色）外部节点，沿途所经黑节点的总数称作该节点的黑高度（black height） ——所有外部节点的黑高度均为0，其余依此类推。
特别地，根节点的黑高度亦称作全树的黑高度，在数值上与外部节点的黑深度相等。
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(2,4)-树
在红黑树与8.2节的4阶B-树之间，存在极其密切的联系，经适当转换之后，二者相互等价！
具体地，自顶向下逐层考查红黑树各节点。每遇到一个红节点，都将对应的子树整体提升一层，从而与其父节点（黑）水平对齐，二者之间的联边则相应地调整为横向。
可见，按照上述对应关系，每颗红黑树都等价于一颗(2,4)-树；前者的每一节点都对应于后者的一个关键码。
通往黑节点的边，对黑高度有贡献，并在(2,4)-树中得以保留；通往红节点的边对黑高度没有贡献，在(2,4)-
树中对应于节点内部一对相邻的关键码。在本节的插图中，这两类边将分别以实线、虚线示意。
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平衡性
尽管红黑树不能如完全树那样可做到理想平衡，也不如AVL树那样可以做到较严格的适度平衡，但其高度仍控制在最小高度的两倍以内，从渐近的角度看仍是O(logn)，依然保证了适度平衡。
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