8.3.4 节点删除算法
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节点删除与双黑现象
代码8.18 红黑树remove()接口：
0001 template <typename T> bool RedBlack<T>::remove ( const T& e ) { //从红黑树中删除关键码e 0002 BinNodePosi<T> & x = search ( e ); if ( !x ) return false; //确认目标存在（留意_hot的设置） 0003 BinNodePosi<T> r = removeAt ( x, _hot ); if ( ! ( --_size ) ) return true; //实施删除 0004 // assert: _hot某一孩子刚被删除，且被r所指节点（可能是NULL）接替。以下检查是否失衡，并做必要调整 0005 if ( ! _hot ) //若刚被删除的是根节点，则将其置黑，并更新黑高度 0006 { _root->color = RB_BLACK; updateHeight ( _root ); return true; } 0007 // assert: 以下，原x（现r）必非根，_hot必非空 0008 if ( BlackHeightUpdated ( *_hot ) ) return true; //若所有祖先的黑深度依然平衡，则无需调整 0009 if ( IsRed ( r ) ) //否则，若r为红，则只需令其转黑 0010 { r->color = RB_BLACK; r->height++; return true; } 0011 // assert: 以下，原x（现r）均为黑色 0012 solveDoubleBlack ( r ); return true; //经双黑调整后返回 0013 } //若目标节点存在且被删除，返回true；否则返回false如代码8.18所示，为删除关键码e，首先调用标准接口BST::search(e)，查找目标节点x。 若查找成功，则调用内部接口removeAt(x)实施删除。按照7.2.6节对该接口所做的语义约定，其间无论是否做过一次节点交换，均以r指向实际被删除节点x的接替者，p = _hot为其父亲，且 r 的兄弟为外部节点w = NULL。
不难验证，此时红黑树的前两个条件继续满足，但后两个条件却未必。
图(c')所示局部子树的黑高度将会降低一个单位。
被删除节点x及其替代者r同为黑色的此类情况，称作“双黑”（double black）现象（对应图(c)） 。此时，需从 r 出发调用solveDoubleBlack(r)算法予以修正。
将原黑节点x的兄弟记作s；x的父亲记作p，（其颜色若不确定以八角形示意）。以下视s和p颜色的不同组合，按四种情况分别处置（均存在其对称情况）。
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双黑修正（BB-1）
节点s、x为黑，且s有一孩子为红。
解决方法：对节点t、s和p实施“3 + 4”重构。
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双黑修正（BB-2-R）
节点s及其两个孩子均为黑色，且p为红色。
解决方法：
从B-树的角度：按照8.2.8节的B-树平衡算法，将关键码p取出并下降一层，然后以之为“粘合剂”将原左、右孩子合并为一个节点。
从红黑树角度看：s 和 p 颜色互换。
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双黑修正（BB-2-B）
节点s及其两个孩子均为黑色，且p为黑色。
解决方法：
从B-树角度：将下溢节点与其兄弟合并。
从红黑树角度：节点s由黑转红。
可能出现的问题：虽然红黑树的所有条件在局部得到恢复，但可能导致下溢的传递。
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双黑修正（BB-3）
节点s为红色。
解决方法：
从B-树的角度：令关键码s与p互换颜色。
从红黑树角度：以节点p为轴做一次旋转，并交换节点s与p的颜色。
存在的问题：双黑缺陷依然存在（子树 r 的黑高度并未复原），且缺陷位置的高度也并未上升。
PS：顺便一提，双黑修正就是为了让节点被删后子树 r 黑高度不变，进而满足条件(4)
进一步解决：转为(BB-1)或(BB-2-R)
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双黑修正的复杂度
双黑修正过程总共耗时不超过O(logn)。即便计入此前的关键码查找和节点摘除操作，红黑树的节点删除操作总是可在O(logn)时间内完成。
纵览各种情况，不难确认：一旦在某步迭代中做过节点的旋转调整，整个修复过程便会随即完成。因此与双红修正一样，双黑修正的整个过程，也仅涉及常数次的拓扑结构调整操作。
这一有趣的特性同时也意味着，在每次删除操作之后，拓扑联接关系有所变化的节点绝不会超过常数个——这一点与AVL树（的删除操作）完全不同，也是二者之间最本质的一项差异。
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双黑修正算法的实现
0001 /****************************************************************************************** 0002 * RedBlack双黑调整算法：解决节点x与被其替代的节点均为黑色的问题 0003 * 分为三大类共四种情况： 0004 * BB-1 ：2次颜色翻转，2次黑高度更新，1~2次旋转，不再递归 0005 * BB-2R：2次颜色翻转，2次黑高度更新，0次旋转，不再递归 0006 * BB-2B：1次颜色翻转，1次黑高度更新，0次旋转，需要递归 0007 * BB-3 ：2次颜色翻转，2次黑高度更新，1次旋转，转为BB-1或BB2R 0008 ******************************************************************************************/ 0009 template <typename T> void RedBlack<T>::solveDoubleBlack ( BinNodePosi<T> r ) { 0010 BinNodePosi<T> p = r ? r->parent : _hot; if ( !p ) return; //r的父亲 0011 BinNodePosi<T> s = ( r == p->lc ) ? p->rc : p->lc; //r的兄弟 0012 if ( IsBlack ( s ) ) { //兄弟s为黑 0013 BinNodePosi<T> t = NULL; //s的红孩子（若左、右孩子皆红，左者优先；皆黑时为NULL） 0014 if ( IsRed ( s->rc ) ) t = s->rc; //右子 0015 if ( IsRed ( s->lc ) ) t = s->lc; //左子 0016 if ( t ) { //黑s有红孩子：BB-1 0017 RBColor oldColor = p->color; //备份原子树根节点p颜色，并对t及其父亲、祖父 0018 // 以下，通过旋转重平衡，并将新子树的左、右孩子染黑 0019 BinNodePosi<T> b = FromParentTo ( *p ) = rotateAt ( t ); //旋转 0020 if ( HasLChild ( *b ) ) { b->lc->color = RB_BLACK; updateHeight ( b->lc ); } //左子 0021 if ( HasRChild ( *b ) ) { b->rc->color = RB_BLACK; updateHeight ( b->rc ); } //右子 0022 b->color = oldColor; updateHeight ( b ); //新子树根节点继承原根节点的颜色 0023 } else { //黑s无红孩子 0024 s->color = RB_RED; s->height--; //s转红 0025 if ( IsRed ( p ) ) { //BB-2R 0026 p->color = RB_BLACK; //p转黑，但黑高度不变 0027 } else { //BB-2B 0028 p->height--; //p保持黑，但黑高度下降 0029 solveDoubleBlack ( p ); //递归上溯 0030 } 0031 } 0032 } else { //兄弟s为红：BB-3 0033 s->color = RB_BLACK; p->color = RB_RED; //s转黑，p转红 0034 BinNodePosi<T> t = IsLChild ( *s ) ? s->lc : s->rc; //取t与其父s同侧 0035 _hot = p; FromParentTo ( *p ) = rotateAt ( t ); //对t及其父亲、祖父做平衡调整 0036 solveDoubleBlack ( r ); //继续修正r处双黑——此时的p已转红，故后续只能是BB-1或BB-2R 0037 } 0038 }
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