算法-时间复杂度算法-时间复杂度 1、数据结构-算法数据结构和算法是相辅相成的，数据结构是为算法服务的，算法要作用在特

算法-时间复杂度

1、数据结构-算法

数据结构和算法是相辅相成的，数据结构是为算法服务的，算法要作用在特定的数据结构之上。所以二者的学习不能互相孤立。

2、算法复杂度分析

时间复杂度：指算法需要消耗的时间资源。计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法的时间复杂度也因此记做。 T(n)=Ο(f(n))
空间复杂度：算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。

2.1、事后统计法

事后统计法：通过统计、分析等，计算出算法的实际执行时间和实际内存占用，从而得到算法的时间复杂度。

测试结果非常依赖测试环境。（服务器资源配置）
测试结果受限于数据规模

2.2、大O复杂度表示法

时间复杂度通俗来讲，就是代码运行的时间。大O表示法就是在不运算代码的情况下来分析一段代码的时间复杂度。
看下面的例子：

public void calculate(int n){
  int sum = 0;
  int i = 0;
  for (;i<n;++i){
    sum = sum + i;
  }
}

从CPU的角度来看，代码的每一行都执行着类似的操作：读操作-运算-写操作。这里我们假设每行代码的执行时间一样，为unit_time，那么2，3行执行了1个unit_time，3，4行n个unit_time，总的执行时间就是（2n+2）*unit_time。
按照这个思路再来看下面一段代码：

public void cal(int n){
  int sum = 0;
  int i = 0;
  int j = 0;
  for (;i<n;i++){
    j = 1;
    for (;j<=n;j++){
      sum += sum + i * j;
    }
  }
}

依旧假设单位时间为unit_time，2、3、4行执行时间分别为1unti_time，5、6加起来就是2n。7、8加起来就是2n²unit_time;总的时间就为(2n²+2n+3)unit_time.
这两段代码分析我们可得到一个重要的规律，那就是代码的执行时间T(n)和每段代码的执次数成正比，所以就得到了以下公式：

T(n)=O(f(n))

其中T(n)代表了代码的执行时间，n代表数据规模，f(n)代表每行代码执行的次数总和。因为是公式，所以用f(n)表达。公式中的O则表示代码执行时间T(n)和表达式f(n)成正比。

两个例子中的T(n)=O(2n+2)和T(n)=O(2n²+2n+3)就是大O时间复杂度表示法，它并不代表具体的执行时间，而是代表代码的执行时间随着数据规模增加的变化趋势，所以也叫渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当n很大时，表达式中的低阶、常量、系数等部分并不左右增长趋势，所以大O表示法可记为：T(n)=O(n)、T(n)=O(n²)。

2.3 常见复杂度分析方法

单段代码看高频：如循环

public void calculate(int n){
  int sum = 0;
  int i = 0;
  for (;i<n;++i){
    sum = sum + i;
  }
}

多段代码取最高：如一段代码中存在单重循环和多重循环，则取多重循环。

public void cal(int n){
  int temp = 0;
  int a = 0;
  for (;a<n;++a){
    temp = temp + i;
  }

  int sum = 0;
  int i = 0;
  int j = 0;
  for (;i<n;i++){
    j = 1;
    for (;j<=n;j++){
      sum += sum + i * j;
    }
  }
}

嵌套循环取乘积：比如多重循环，递归等。

public void cal(int n){
  int sum = 0;
  int i = 0;
  int j = 0;
  for (;i<n;i++){
    j = 1;
    for (;j<=n;j++){
      sum += sum + i * j;
    }
  }
}

多数据规模取和：O(n+m)。

public void cal(int n,int m){
  int temp = 0;
  int a = 0;
  for (;a<n;++a){
    temp = temp + i;
  }

  for (;i<m;i++){
    sum += sum + i * j;
  }
}

2.4 常见的时间复杂度

常见时间复杂度

多项式阶，随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。

O(1)（常数阶）
常数阶的概念并不是只执行一行代码，一般情况下算法中不存在循环、递归等语句，即使有成千上万行代码，复杂度也是O(1)
O(logn)（对数阶）
```
int i =1;
while(i<n){
  i = i * 2;
}
```
当2^x>=n时，循环结束，所以这段代码的执行次数就是x= $log_2n$ ;大O法记作： $O(log_2n)$ 。那么再看下面这段代码：
```
int i =1;
while(i<n){
  i = i * 3;
}
```
按照上面的逻辑，这段的复杂度为 $O(log_3n)$ 。二者之间是可以转换的 $log_3n=log_32 * log_2n$ ；基于大O法的理论：在采用大O计数法时可以忽略系数等。则此类复杂度可统一记为O(logn)。
O(n)（线性阶）
O(nlogn)（线性对数阶）
基于O(logn)，那么O(nlogn)就容易理解了，就相当于上面的嵌套取乘积规则一样，就是O(logn)执行的n遍。
O(n^2)（平方阶）、O(n^3)（立方阶）....、O(n^k)(K次方阶)

非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。

O(2^n)（指数阶）
O(n!)（阶乘阶）

3 小结

虽然上面说的事后统计法有一定的缺点，但时间复杂度的分析与其并不是对立冲突的。时间复杂度是一个理论上的模型，可以比较直观的给我们一个算法的效率上的感性认知，只能提供粗略的分析。它是与宿主平台无关的，并不是说O(n)的效率一定就优于O(n²)。针对不同的宿主平台环境，不同的数据集，不同的数据规模，在实际应用上性能可能会各有不同，所以实际应用中进行一定的性能基准测试是有必要的。
综上所述，时间复杂度分析和性能测试是相辅相成的。但一个低阶的时间复杂度确实有极大的可能优于高阶的时间复杂度，所以在编程中时刻关心复杂度的趋势走向是很有必要的，而且能很大幅度的提升输出质量。因此在编程中具有这种复杂度分析的思维还是十分有必要的。