#补充算法知识：哈夫曼树（二叉）与哈夫曼编码

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哈夫曼树（二叉）与哈夫曼编码

哈夫曼树：是基于贪心算法的思想来设计的树 哈夫曼编码：哈夫曼树的实际应用

概念

权： 树中结点相关的数值

路径长度： 从树中某个结点到另一个结点之间的分支数目（经过的边数）

带权路径长度： 从树的根节点到任意结点的路径长度（经过的边数）与改结点上权值的乘积称为该结点的带权路径长度。

树中所有叶结点的带权路径长度之和称为 该树的带权路径长度 $(树的带权路径长度) \;\;\;WPL=\sum_{i=1}^{n}w_i×l_i$ 其中 $w_i$ 是第 $i$ 叶结点所带的权值；$l_i$ 是该叶结点到根结点的路径长度。

例如这颗树：

$(树的带权路径长度) \;\;\;WPL = 5 × 1 + 15 × 2 + 40 × 3 + 30 × 4 + 10 × 4 = 315$ (叶结点A到根结点的路径长度是1，同理叶结点B、C、D、E到根结点的路径长度分别是：2,3,4,4)

再换一种树：

$(树的带权路径长度) \;\;\;WPL = 5 × 3 + 15 × 3 + 40 × 2 + 30 × 2 + 10 × 2 = 220$

那么哈夫曼树的概念就是：含有N个带权叶子结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树，也称为：最优二叉树

哈夫曼树的建立

1. 将这N个结点分别作为N棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。（森林：森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合）
2. 构造一个新结点，并从F中选取 两棵根结点权值最小的树 作为 新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为 左、右子树上根结点的权值之和
3. 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。
4. 重复步骤2，3，直至F中只剩下一棵树为止。

题目：设给定权集w={5, 7, 2, 3, 6, 8, 9}，试构造关于w的一棵哈夫曼树，并求其加权路径长度WPL。

步骤如下

往后的步骤

$WPL = 6 × 3 + 7 × 3 + 2 × 4 + 3 × 4 + 5 × 3 + 8 × 2 + 9 × 2 = 108$

总结哈夫曼树的重要性质

1. 每个初始结点最终都成为了叶结点，并且权值越小的结点到根结点的路径长度越大
2. 构造过程中共新建了N-1个结点（双分支结点），因此哈夫曼树中结点总数为：2N-1
3. 每次构造都选择2棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树不存在 度（结点的分支数） 为1的结点。

哈夫曼编码

哈夫曼编码最早用于解决远距离电报通信的数据传输最优化问题。