7.3 平衡二叉搜索树
树高与性能
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树高与性能
若不能有效控制树高，则就实际的性能而言，较之此前的向量和列表，二叉搜索树将无法体现出明显优势。
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随机生成
n个互异关键码随机生成一颗二叉搜索树。（randomly generated）
在随机意义下，二叉搜索树的平均高度为Θ(logn)。
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随机组成
另一随机策略是，假定n个互异节点同时给定，然后在遵守顺序性的前提下，随机确定它们之间的拓扑联接。如此，称二叉搜索树由这组节点“随机组成”（randomly composed）。
平均查找长度为Θ\sqrt{n}
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比较
为例，排列(2, 1, 3)与(2, 3, 1)生成的，实际上就是同一棵二叉搜索树。而在按照前一口径估计平均树高时，这棵树被统计了两次。实际上一般而言，越是平衡的树，被统计的次数亦越多。从这个角度讲，前一种平均的方式，在无形中高估了二叉搜索树的平均性能。因此相对而言，按照后一口径所得的估计值更加可信。
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树高与平均树高
实际中，理想的随机不常见，一组关键码往往会按照（接近）单调次序出现，因此频繁出现极高的搜索树也不奇怪。
理想平衡与适度平衡
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理想平衡
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适度平衡
在渐进意义下适当放松标准之后的平衡性，称作适度平衡。
幸运的是，适度平衡的标准的确存在。比如，若将树高限制为“渐进地不超过O(logn)”，则下节将要介绍的AVL树，以及下一章将要介绍的伸展树、红黑树、kd-树等，都属于适度平衡这些变种，因此也都可归入平衡二叉搜索树（balanced binary search tree, BBST）之列。
等价变换：
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等价二叉搜索树
若两颗二叉搜索树的中序遍历序列相同，则称它们彼此等价；反之亦然。
特点：上下可变，左右不乱
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局部性
平衡二叉搜索树的适度平衡性，都是通过对树中每一局部增加某种限制条件来保证的。比如，在红黑树中，从树根到叶节点的通路，总是包含一样多的黑节点；在AVL树中，兄弟节点的高度相差不过1。事实上，这些限制条件设定得非常精妙，除了适度平衡性，还具有如下局部性：
1）经过单次动态修改操作后，至多只有O(logn)处局部不再满足限制条件
2）总可在O(logn)时间内，使这O(logn)处局部（以至全树）重新满足限制条件
这就意味着：刚刚失去平衡的二叉搜索树，必然可以迅速转换为一棵等价的平衡二叉搜索树。等价二叉搜索树之间的上述转换过程，也称作等价变换。
那么，此类局部性的失衡，具体地可以如何修复？如何保证修复的速度？
旋转调整
（最基本的修复手段，就是通过围绕特定节点的旋转，实现等价前提下的局部拓扑调整。）
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zig和zag
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效率与效果
zig和zag旋转均属局部操作，仅涉及常数个节点及其之间的联接关系，故均可在常数时间内完成。正因如此，在后面实现各种二叉搜索树平衡化算法时，它们都是支撑性的基本操作。
就与树相关的指标而言，经一次zig或zag旋转之后，节点v的深度加一，节点c的深度减一；这一局部子树（乃至全树）的高度可能发生变化，但上、下幅度均不超过一层。
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