写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1 F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1. 斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2 输出：1 示例 2：
输入：n = 5 输出：5
提示：
0 <= n <= 100
解法一：记忆化递归法
斐波那契数列的定义是 f(n+1)=f(n)+f(n−1) ，生成第 n 项的做法有以下几种：
-
递归法：
原理： 把 f(n) 问题的计算拆分成 f(n−1) 和 f(n−2) 两个子问题的计算，并递归，以 f(0) 和 f(1) 为终止条件。
缺点： 大量重复的递归计算，例如 f(n) 和 f(n−1) 两者向下递归需要 各自计算 f(n−2) 的值。
-
记忆化递归法：
原理： 在递归法的基础上，新建一个长度为 n 的数组，用于在递归时存储 f(0) 至 f(n) 的数字值，重复遇到某数字则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
缺点： 记忆化存储需要使用 O(N) 的额外空间。
下图帮助理解递归法的 “重复计算” 概念。
代码：
class Solution {
public int fib(int n) {
HashMap<Integer, Integer> hashMap = new HashMap<>();
return recur(n, hashMap);
}
public int recur(int level, HashMap<Integer, Integer> hashMap) {
if (level == 0) {
hashMap.put(level, 0);
return 0;
}
if (level == 1) {
hashMap.put(level, 1);
return 1;
}
if (!hashMap.containsKey(level)) {
hashMap.put(level, recur(level - 1, hashMap) + recur(level - 2, hashMap));
}
return hashMap.get(level) % 1000000007;
}
}
解法二：动态规划
动态规划：
原理： 以斐波那契数列性质 f(n+1)=f(n)+f(n−1) 为转移方程。
从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。
动态规划解析：
- 状态定义： 设 dp 为一维数组，其中 dp[i] 的值代表 斐波那契数列第 i 个数字 。
- 转移方程： dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1] ，即对应数列定义 f(n+1)=f(n)+f(n−1) ；
- 初始状态： dp[0]=0, dp[1]=1 ，即初始化前两个数字；
- 返回值： dp[n] ，即斐波那契数列的第 n 个数字。
空间复杂度优化：
-
若新建长度为 n 的 dp 列表，则空间复杂度为 O(N) 。
-
由于 dp 列表第 i 项只与第 i−1 和第 i−2 项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum, a, b ，利用辅助变量 sum 使 a,b 两数字交替前进即可 （具体实现见代码） 。
-
节省了 dp 列表空间，因此空间复杂度降至 O(1) 。
循环求余法：
大数越界： 随着 n 增大, f(n) 会超过 Int32 甚至 Int64 的取值范围，导致最终的返回值错误。
求余运算规则：
设正整数 x,y,p ，求余符号为 ⊙ ，则有 (x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p 。 解析： 根据以上规则，可推出 f(n)⊙p=[f(n−1)⊙p+f(n−2)⊙p]⊙p ，从而可以在循环过程中每次计算 sum=(a+b)⊙1000000007 ，此操作与最终返回前取余等价。
复杂度分析：
时间复杂度 O(N) ： 计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1) 。
空间复杂度 O(1) ： 几个标志变量使用常数大小的额外空间。
代码：
class Solution {
public int fib(int n) {
int a = 0, b = 1, sum = 0;
if (n < 2) {
return n;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
sum = (a + b) % 1000000007;
a = b;
b = sum;
}
return sum;
}
}
解法三：矩阵快速幂
方法一和方法二的时间复杂度是 O(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。
首先我们可以构建这样一个递推关系：
因此只要我们能快速计算矩阵 M 的 n 次幂，就可以得到 F(n) 的值。如果直接求取 M n ，时间复杂度是 O(n)，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里 M n 的求取。
计算过程中，答案需要取模 1e9+7。
class Solution {
static final int MOD = 1000000007;
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return n;
}
int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
int[][] res = pow(q, n - 1);
return res[0][0];
}
public int[][] pow(int[][] a, int n) {
int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}
public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = (int) (((long) a[i][0] * b[0][j] + (long) a[i][1] * b[1][j]) % MOD);
}
}
return c;
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度：O(logn)。
- 空间复杂度：O(1)。
