题目来源： 计算机考研408真题2011年42题
题目描述：
- 描述: 42.（15分）一个长度为L（L≥1）的升序序列S.处在第「L/2]个位置的数称为S的中位数。例如，若序列S=（11,13，15，17，19），则S的中位数是15，两个序列的中位数是含它们所有元素的升序序列的中位数。例如，若S=（2,4,6,8,20），则S和S2的中位数是11。现在有两个等长升序序列A和B，试设计一个在时间和空间两方面都尽可能高效的算法，找出两个序列A和B的中位数。
要求：
1）给出算法的基本设计思想。
2）根据设计思想，采用C、C++或Java语言描述算法，关键之处给出注释.
3）说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。
思路1:
- 要注意"升序序列"、"等长"这两个信息,将题目的难度直接就降低了
- 因为"升序序列",所以不需要我们自己进行排序
- 因为"等长",假设长度为n,那么将A与B组成升序序列C后,C的长度为2n,中位数则是第n个数
- 所以将A和B序列从前到后依次取出每个元素进行比较,然后将较小的值给序列C
- 如果将A和B全部遍历后,得到C也是可以的,但是略微进行优化:对序列C的元素个数进行计数,当达到第n个元素,那么就停止对A和B的遍历,因为第n个元素就是所求的中位数
思路2:
- 因为思路1的时间和空间并不能算是高效,都是o(n)
- 根据题目,将序列A与B的中位数,设为a与b
- 情况1.如果a=b,则a(或b)就是所求的中位数
- 情况2.如果a<b,那么中位数只会出现在(a,b)的范围内
- 那么舍弃a所在序列A的较小一半，同时舍弃b所在序列B的较大一半，在保留两个升序序列中求出新的中位数a和b，重复上述过程，直到两个序列中只含一个元素时为止，则较小者即为所求的中位数。
- 每次总的元素个数变为原来的一半
- a<b时，舍弃序列A中较小的一半，同时舍弃序列B中较大的一半，要求舍弃的长度相等。
- a>b时，舍弃序列A中较大的一半，同时舍弃序列B中较小的一半，要求舍弃的长度相等。
- 情况3.如果b<a,与2同理
- 代码中对于中间点的处理,其实就是为了两个序列舍弃的长度相等,如果a<b,可以将A序列和B序列进行归并排序后,得到最终序列...a...b...,可以通过这个模型进行逻辑上的理解,如果a<b,也是同理的
具体实现:
public class day408_11 {
static int Search(int[] A, int[] B, int n){ //思路1的代码
int[] C = new int[2*n];
int i =0, j = 0,k = 0;
while(k != n ){ //对序列C的元素个数进行计数,当达到第n个元素,那么就停止对A和B的遍历
if(A[i]<B[j]){
C[k++] = A[i++];
}else if(A[i] == B[j]){
C[k++] = A[i++];
C[k++] = B[j++];
}else{
C[k++] = B[j++];
}
}
return C[n-1];
}
static int Search1(int A[],int B[],int n){ //思路2的代码
int s1=0,d1=n-1,m1,s2=0,d2=n-1,m2;
//s1指的是序列A的首位,也就是数组下标为0,s2同理
//d1指的是序列A的末位,也就是数组下标为n-1,d2同理
//m1指的是序列A的中位,m2同理
while(s1 != d1||s2 != d2){
m1 = (s1 + d1) / 2;
m2 = (s2 + d2) / 2;
if(A[m1] == B[m2]) //情况1.若A与B的中位数相等
return A[m1];
if(A[m1] < B[m2]){ //情况2.若A的中位数<B的中位数
if((s1+d1) % 2 == 0){ //元素个数若为奇数:s1和d1都是下标,
//所以元素个数如果是奇数,首尾下标相加是偶数
s1 = m1;//舍弃A中间点以前的部分，且保留中间点
d2 = m2;//舍弃B中间点以后的部分，且保留中间点
}else{ //元素个数若为偶数
s1 = m1 + 1;//舍弃A中间点及中间点以前部分
d2 = m2;//舍弃B中间点以后部分且保留中间点
}
}else{ //情况3.若A的中位数>B的中位数
if((s1+d1)%2 == 0){ //元素个数若为奇数
d1 = m1;//舍弃A中间点以后的部分，且保留中间点
s2 = m2;//舍弃B中间点以前的部分，且保留中间点
}else{ //元素个数若为偶数
d1 = m1 + 1;//舍弃A中间点以后部分，且保留中间点
s2 = m2;//舍弃B中间点及中间点以前部分
}
}
}
return A[s1]<B[s2]?A[s1]:B[s2];
}
public static void main(String[] args) {
int[] A = {1,2,3,4,5};
int[] B = {6,7,8,9,10};
System.out.println(Search(A,B,5));
System.out.println(Search1(A,B,5));
}
}
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