【动态规划】区间覆盖的困难题

题目描述

LeetCode上的1326. 灌溉花园的最少水龙头数目，难度为困难（1885）

在 x 轴上有一个一维的花园。花园长度为 n，从点 0 开始，到点 n 结束。

花园里总共有 n + 1 个水龙头，分别位于 [0, 1, ..., n] 。

给你一个整数 n 和一个长度为 n + 1 的整数数组 ranges ，其中 ranges[i] （下标从 0 开始）表示：如果打开点 i 处的水龙头，可以灌溉的区域为 [i - ranges[i], i + ranges[i]] 。

请你返回可以灌溉整个花园的 最少水龙头数目 。如果花园始终存在无法灌溉到的地方，请你返回 -1 。

示例1

输入：n = 5, ranges = [3,4,1,1,0,0]
输出：1
解释：
点 0 处的水龙头可以灌溉区间 [-3,3]
点 1 处的水龙头可以灌溉区间 [-3,5]
点 2 处的水龙头可以灌溉区间 [1,3]
点 3 处的水龙头可以灌溉区间 [2,4]
点 4 处的水龙头可以灌溉区间 [4,4]
点 5 处的水龙头可以灌溉区间 [5,5]
只需要打开点 1 处的水龙头即可灌溉整个花园 [0,5] 。

示例2

输入：n = 3, ranges = [0,0,0,0]
输出：-1
解释：即使打开所有水龙头，你也无法灌溉整个花园。

提示

• 1 <= n <= 104
• ranges.length == n + 1
• 0 <= ranges[i] <= 100

动态规划

对于 i 位置的水龙头，它可以覆盖的区间为[i−ranges[i],i+ranges[i]]，由题得出花园的区间为[0，n]，故超出n以及小于0的区域是可以丢弃的。因此我们可以先将数据预处理一下，将每个range[i]转换为i位置覆盖区间。这样我们就得到了每个覆盖区间。

[start0,end0],[start1,end1],[start2,end2].....

接下来就是动态规划分析

• dp[i]表示覆盖[0,i]所需要最少的覆盖区间。

• 当前我们来到了第j个区间[startj,endj]，当我们求该区间中每个位置所需要最少覆盖区间的时候，只需要知道[0,startj]所需要的最少覆盖区间个数即可。即可得到对应的转移方程为

  dp[i]=min(dp[i],1+dp[startj])（i∈[startj,endj]）

• 由上可以得出从左向右遍历，需要对覆盖区间按照start位置的元素从小到达进行排序，这样就能保证当遍历到某个区间的时候，前面的位置都遍历到了

• 若某个区间start位置一直没有覆盖到，就直接返回-1即可【因为我们是按照start从小到大进行排序】，因此我们需要将dp初始化INF大小，这样就可以判断不合法的情况了。

class Solution {
    static int INF = Integer.MAX_VALUE;
    public int minTaps(int n, int[] ranges) {
        int len = ranges.length;
        int[][] range = new int[len][];
        // 数据预处理
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            range[i] = new int[] {Math.max(0, i - ranges[i]), Math.min(i + ranges[i], n)};
        }
        // dp[i]表示i位置所需要的最小区间个数
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, INF);
        // 让覆盖的范围的首元素按从小到大进行排序
        Arrays.sort(range, (a,b) -> (a[0] - b[0]));
        // 初始化：0位置的覆盖区间为0
        dp[0] = 0;
        for(int[] r : range) {
            int start = r[0], end = r[1];
            // 某位置无法覆盖直接返回-1即可，因为
            if(dp[start] == INF) return -1;
            for(int loc = start; loc <= end; loc++) {
                dp[loc] = Math.min(dp[loc], dp[start] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}